CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 15
y una relación ≤ , que verifican los axiomas i )– ix ) de la Definición 1.1 junto con los axiomas del orden , y donde se cumple además el axioma del supremo . A partir de ahora , llamaremos simplemente números ( ó puntos ) a los elementos de R ( números reales ).
1.7 . Consecuencias del axioma del supremo
En primer lugar , del axioma del supremo se sigue la siguiente propiedad equivalente de los números reales ( axioma o principio del ínfimo ):
Proposición 1.22 . Si A ⊂ R es un conjunto no vacío acotado inferiormente , entonces A posee un ínfimo .
Demostración . Basta aplicar el axioma del supremo al conjunto −A , que está acotado superiormente , y tener en cuenta que inf A = − sup ( −A ).
Q . E . D .
También es inmediato probar que si ∅ ≠ A ⊂ B y B está acotado superiormente , entonces A está acotado superiormente y se cumple
supA ≤ supB .
En efecto , es claro que cualquier cota superior de B es a la vez una cota superior de A , por lo que A está acotado superiormente . En particular , supB es una cota superior de A , de donde supA ≤ supB . Del mismo modo se demuestra que si A ⊂ B y B está acotado inferiormente , entonces A está acotado inferiormente e inf A ≥ inf B .
Si A ⊂ R es un conjunto acotado superiormente y x = supA resulta pertenecer al conjunto A , diremos que x es el máximo de A , y escribiremos x = máxA ( aunque el conjunto A sea infinito ). Equivalentemente ,
x = máx A ⇐⇒ x ∈ A y a ≤ x ∀a ∈ A .
Es fácil comprobar que si A es un conjunto finito esta definición de máximo coincide con la vista anteriormente . Nótese , sin embargo , que aunque ∅ ≠ A ⊂ R esté acotado superiormente el máximo de A no tiene por qué existir ( aunque , por supuesto , la existencia de supA está garantizada ). Del mismo modo , si A ⊂ R está acotado inferiormente y x = inf A ∈ A diremos que x es el mínimo de A , y escribiremos x = mín A . Equivalentemente ,
x = mín A ⇐⇒ x ∈ A y x ≤ a ∀a ∈ A .
Al igual que antes , un subconjunto no vacío de R acotado inferiormente no tiene por qué tener un mínimo .