CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 15
y una relación ≤, que verifican los axiomas i)– ix) de la Definición 1.1 junto con los axiomas del orden, y donde se cumple además el axioma del supremo. A partir de ahora, llamaremos simplemente números( ó puntos) a los elementos de R( números reales).
1.7. Consecuencias del axioma del supremo
En primer lugar, del axioma del supremo se sigue la siguiente propiedad equivalente de los números reales( axioma o principio del ínfimo):
Proposición 1.22. Si A ⊂ R es un conjunto no vacío acotado inferiormente, entonces A posee un ínfimo.
Demostración. Basta aplicar el axioma del supremo al conjunto −A, que está acotado superiormente, y tener en cuenta que inf A = − sup( −A).
Q. E. D.
También es inmediato probar que si ∅ ≠ A ⊂ B y B está acotado superiormente, entonces A está acotado superiormente y se cumple
supA ≤ supB.
En efecto, es claro que cualquier cota superior de B es a la vez una cota superior de A, por lo que A está acotado superiormente. En particular, supB es una cota superior de A, de donde supA ≤ supB. Del mismo modo se demuestra que si A ⊂ B y B está acotado inferiormente, entonces A está acotado inferiormente e inf A ≥ inf B.
Si A ⊂ R es un conjunto acotado superiormente y x = supA resulta pertenecer al conjunto A, diremos que x es el máximo de A, y escribiremos x = máxA( aunque el conjunto A sea infinito). Equivalentemente,
x = máx A ⇐⇒ x ∈ A y a ≤ x ∀a ∈ A.
Es fácil comprobar que si A es un conjunto finito esta definición de máximo coincide con la vista anteriormente. Nótese, sin embargo, que aunque ∅ ≠ A ⊂ R esté acotado superiormente el máximo de A no tiene por qué existir( aunque, por supuesto, la existencia de supA está garantizada). Del mismo modo, si A ⊂ R está acotado inferiormente y x = inf A ∈ A diremos que x es el mínimo de A, y escribiremos x = mín A. Equivalentemente,
x = mín A ⇐⇒ x ∈ A y x ≤ a ∀a ∈ A.
Al igual que antes, un subconjunto no vacío de R acotado inferiormente no tiene por qué tener un mínimo.