CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 16
1.7.1 . La propiedad arquimediana de los números reales
Es intuitivamente claro que el conjunto de los números naturales no está acotado en R . La demostración rigurosa de este hecho es una consecuencia inmediata de la siguiente propiedad fundamental de los números reales , que como vamos a ver se deduce del axioma del supremo :
Propiedad arquimediana de los números reales . Si x > 0 ( x ∈ R ) e y ∈ R , entonces hay un número natural n ∈ N tal que nx > y .
Demostración . Consideremos el conjunto A de los múltiplos de x , es decir A = { nx ∈ R : n ∈ N },
que es obviamente no vacío . El enunciado que queremos probar equivale a que y no es una cota superior de A ( ó , como y es arbitrario , a que A no está acotado superiormente ). Pero si A estuviera acotado superiormente entonces , por el axioma del supremo , existiría z = supA , y se tendría
nx ≤ z , ∀n ∈ N . Como n + 1 ∈ N para todo n ∈ N , de esto deduciríamos que
( n + 1 ) x ≤ z , ∀n ∈ N ⇐⇒ nx ≤ z − x , ∀n ∈ N .
Esto implicaría que z − x < z sería una cota superior de A menor que z = supA , lo que es contradictorio . Q . E . D .
Tomando x = 1 en la proposición anterior obtenemos que N no es acotado superiormente ( sí inferiormente , siendo inf N = mínN = 1 ), de donde se sigue fácilmente que Z ( y por tanto Q , que contiene a Z ) es no acotado , ni inferior ni superiormente . Una ligera extensión de la propiedad arquimediana permite probar que dado un número x ∈ R existe un único entero n ∈ Z tal que n ≤ x < n + 1 .
( Demostración : sea A el conjunto de los enteros mayores que x . A es no vacío por la propiedad arquimediana , y está acotado inferiormente por x . Por el principio de inducción , A tiene un elemento mínimo que denotaremos por n + 1 . En particular , x < n + 1 por ser n + 1 ∈ A , y x ≥ n por ser n + 1 el mínimo elemento de A . Por último , si m ∈ Z y m ≤ x < m + 1 entonces −m − 1 < −x ≤ −m , de donde se sigue que n − m − 1 < 0 < n − m + 1 ó , equivalentemente , n = m .) Al entero n lo denominaremos parte entera del número real x , y lo denotaremos [ x ] ( por ejemplo , [ 3 ] = 3 , [ π ] = 3 , [ −3 ] = −3 , [ −π ] = −4 ).
Si en el enunciado de la propiedad arquimediana tomamos y > 0 , entonces nx > y ⇐⇒ 0 < y n < x , lo que prueba la siguiente