CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 16
1.7.1. La propiedad arquimediana de los números reales
Es intuitivamente claro que el conjunto de los números naturales no está acotado en R. La demostración rigurosa de este hecho es una consecuencia inmediata de la siguiente propiedad fundamental de los números reales, que como vamos a ver se deduce del axioma del supremo:
Propiedad arquimediana de los números reales. Si x > 0( x ∈ R) e y ∈ R, entonces hay un número natural n ∈ N tal que nx > y.
Demostración. Consideremos el conjunto A de los múltiplos de x, es decir A = { nx ∈ R: n ∈ N },
que es obviamente no vacío. El enunciado que queremos probar equivale a que y no es una cota superior de A( ó, como y es arbitrario, a que A no está acotado superiormente). Pero si A estuviera acotado superiormente entonces, por el axioma del supremo, existiría z = supA, y se tendría
nx ≤ z, ∀n ∈ N. Como n + 1 ∈ N para todo n ∈ N, de esto deduciríamos que
( n + 1) x ≤ z, ∀n ∈ N ⇐⇒ nx ≤ z − x, ∀n ∈ N.
Esto implicaría que z − x < z sería una cota superior de A menor que z = supA, lo que es contradictorio. Q. E. D.
Tomando x = 1 en la proposición anterior obtenemos que N no es acotado superiormente( sí inferiormente, siendo inf N = mínN = 1), de donde se sigue fácilmente que Z( y por tanto Q, que contiene a Z) es no acotado, ni inferior ni superiormente. Una ligera extensión de la propiedad arquimediana permite probar que dado un número x ∈ R existe un único entero n ∈ Z tal que n ≤ x < n + 1.
( Demostración: sea A el conjunto de los enteros mayores que x. A es no vacío por la propiedad arquimediana, y está acotado inferiormente por x. Por el principio de inducción, A tiene un elemento mínimo que denotaremos por n + 1. En particular, x < n + 1 por ser n + 1 ∈ A, y x ≥ n por ser n + 1 el mínimo elemento de A. Por último, si m ∈ Z y m ≤ x < m + 1 entonces −m − 1 < −x ≤ −m, de donde se sigue que n − m − 1 < 0 < n − m + 1 ó, equivalentemente, n = m.) Al entero n lo denominaremos parte entera del número real x, y lo denotaremos [ x ]( por ejemplo, [ 3 ] = 3, [ π ] = 3, [ −3 ] = −3, [ −π ] = −4).
Si en el enunciado de la propiedad arquimediana tomamos y > 0, entonces nx > y ⇐⇒ 0 < y n < x, lo que prueba la siguiente