CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 17
Proposición 1.23 . Si x > 0 e y > 0 son números reales , existe n ∈ N tal que 0 < y n < x .
En particular , esto prueba que dado y > 0 se tiene { y
} inf n : n ∈ N = 0 .
Hay también una propiedad arquimediana en la que interviene el producto en lugar de la suma :
Proposición 1.24 . Si x > 1 e y son números reales , entonces existe n ∈ N tal que x n > y .
Demostración . Si y ≤ 0 , podemos tomar n = 1 . Si y > 0 , basta considerar el conjunto A = { x n : n ∈ N }. Q . E . D .
1.7.2 . Intervalos
Un ejemplo muy importante de subconjuntos acotados ( y , por tanto , que poseen supremo e ínfimo a la vez ) es el de los intervalos . Por definición , dados dos números reales a < b definimos el intervalo cerrado
el intervalo abierto
y los dos intervalos semiabiertos
[ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ,
( a , b ) = { x ∈ R : a < x < b } ,
[ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } , ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b }.
Los números a < b se llaman respectivamente extremo superior e inferior del intervalo . Por convenio , si a = b definimos [ a , a ] = { a }. Es inmediato ver que un intervalo I de cualquiera de los tipos anteriores está acotado , y que se tiene inf I = a , supI = b .
A veces es también útil considerar intervalos no acotados , para los que utilizamos la siguiente notación :
( −∞ , b ) = { x ∈ R : x < b } , ( −∞ , b ] = { x ∈ R : x ≤ b } , ( a , ∞ ) = { x ∈ R : x > a } , [ a , ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a }
y ( −∞ , ∞ ) = R . Nótese que los símbolos ± ∞ se utilizan meramente por conveniencia ( no son números reales ), de modo que las definiciones anteriores se reduzcan formalmente a las de los intervalos acotados si convenimos que x > −∞ y x < ∞ se satisface para todo número real .
Una consecuencia importante de la propiedad arquimediana es la siguiente