CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 17
Proposición 1.23. Si x > 0 e y > 0 son números reales, existe n ∈ N tal que 0 < y n < x.
En particular, esto prueba que dado y > 0 se tiene { y
} inf n: n ∈ N = 0.
Hay también una propiedad arquimediana en la que interviene el producto en lugar de la suma:
Proposición 1.24. Si x > 1 e y son números reales, entonces existe n ∈ N tal que x n > y.
Demostración. Si y ≤ 0, podemos tomar n = 1. Si y > 0, basta considerar el conjunto A = { x n: n ∈ N }. Q. E. D.
1.7.2. Intervalos
Un ejemplo muy importante de subconjuntos acotados( y, por tanto, que poseen supremo e ínfimo a la vez) es el de los intervalos. Por definición, dados dos números reales a < b definimos el intervalo cerrado
el intervalo abierto
y los dos intervalos semiabiertos
[ a, b ] = { x ∈ R: a ≤ x ≤ b },
( a, b) = { x ∈ R: a < x < b },
[ a, b) = { x ∈ R: a ≤ x < b },( a, b ] = { x ∈ R: a < x ≤ b }.
Los números a < b se llaman respectivamente extremo superior e inferior del intervalo. Por convenio, si a = b definimos [ a, a ] = { a }. Es inmediato ver que un intervalo I de cualquiera de los tipos anteriores está acotado, y que se tiene inf I = a, supI = b.
A veces es también útil considerar intervalos no acotados, para los que utilizamos la siguiente notación:
( −∞, b) = { x ∈ R: x < b },( −∞, b ] = { x ∈ R: x ≤ b },( a, ∞) = { x ∈ R: x > a }, [ a, ∞) = { x ∈ R: x ≥ a }
y( −∞, ∞) = R. Nótese que los símbolos ± ∞ se utilizan meramente por conveniencia( no son números reales), de modo que las definiciones anteriores se reduzcan formalmente a las de los intervalos acotados si convenimos que x > −∞ y x < ∞ se satisface para todo número real.
Una consecuencia importante de la propiedad arquimediana es la siguiente