CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 18
Proposición 1.25. Si a < b, todo intervalo( a, b) contiene un punto racional.
Demostración. En efecto, si h = b − a > 0 existe n ∈ N tal que 1 n < h. Si m = [ na ] ∈ Z entonces
Por otra parte m ≤ na < m + 1 ⇐⇒ m n ≤ a < m + 1 n. m + 1 n
= m n + 1 n ≤ a + 1 n < a + h = b.
Por tanto, hemos probado que a < m + 1 n
< b, lo que demuestra que m + 1 n pertenece a Q ∩( a, b). Q. E. D.
Corolario 1.26. Todo intervalo de extremos a < b( abierto, semiabierto ó cerrado) contiene infinitos puntos racionales.
Demostración. El caso más desfavorable es el de un intervalo abierto( a, b). Por la proposición anterior, ∃q 1 ∈ Q ∩( a, b). Aplicando ahora la proposición al intervalo abierto( a, q 1) probamos que ∃q 2 ∈ Q∩( a, q 1) ⊂ Q∩( a, b). De esta forma( aplicando reiteradamente la proposición anterior) se construye un conjunto infinito { q 1, q 2,..., q n,... } de racionales contenido en el intervalo( a, b)( y, por tanto, en cualquier intervalo de extremos a < b). Q. E. D.
En términos topológicos, la proposición anterior se formula diciendo que Q es denso en R. Nota: como el conjunto de los números racionales es numerable y el intervalo de extremos a < b no lo es, se sigue que todo intervalo de extremos a < b contiene también infinitos puntos irracionales. Por lo tanto, el conjunto de los números irracionales R−Q también es denso en R. Esto se puede probar fácilmente de forma directa: cf. Spivak, problema 8-6.)
1.7.3. Existencia de raíces n-ésimas
Otra consecuencia no trivial del axioma del supremo es la existencia de una raíz n-ésima de cualquier número real positivo, para todo n ∈ N:
Teorema 1.27. Si x > 0 es un elemento de R y n ∈ N, entonces hay un único número y > 0 en R tal que x = y n.
Demostración. Consideremos el conjunto A = { a ∈ R: a ≥ 0 y a n ≤ x }.
Está claro que este conjunto es no vacío( 0 ∈ A) y está acotado superiormente: en efecto, si 0 < x ≤ 1 entonces A está acotado por 1( ya que