CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 18
Proposición 1.25 . Si a < b , todo intervalo ( a , b ) contiene un punto racional .
Demostración . En efecto , si h = b − a > 0 existe n ∈ N tal que 1 n < h . Si m = [ na ] ∈ Z entonces
Por otra parte m ≤ na < m + 1 ⇐⇒ m n ≤ a < m + 1 n . m + 1 n
= m n + 1 n ≤ a + 1 n < a + h = b .
Por tanto , hemos probado que a < m + 1 n
< b , lo que demuestra que m + 1 n pertenece a Q ∩ ( a , b ). Q . E . D .
Corolario 1.26 . Todo intervalo de extremos a < b ( abierto , semiabierto ó cerrado ) contiene infinitos puntos racionales .
Demostración . El caso más desfavorable es el de un intervalo abierto ( a , b ). Por la proposición anterior , ∃q 1 ∈ Q ∩ ( a , b ). Aplicando ahora la proposición al intervalo abierto ( a , q 1 ) probamos que ∃q 2 ∈ Q∩ ( a , q 1 ) ⊂ Q∩ ( a , b ). De esta forma ( aplicando reiteradamente la proposición anterior ) se construye un conjunto infinito { q 1 , q 2 ,..., q n ,... } de racionales contenido en el intervalo ( a , b ) ( y , por tanto , en cualquier intervalo de extremos a < b ). Q . E . D .
En términos topológicos , la proposición anterior se formula diciendo que Q es denso en R . Nota : como el conjunto de los números racionales es numerable y el intervalo de extremos a < b no lo es , se sigue que todo intervalo de extremos a < b contiene también infinitos puntos irracionales . Por lo tanto , el conjunto de los números irracionales R−Q también es denso en R . Esto se puede probar fácilmente de forma directa : cf . Spivak , problema 8-6 .)
1.7.3 . Existencia de raíces n-ésimas
Otra consecuencia no trivial del axioma del supremo es la existencia de una raíz n-ésima de cualquier número real positivo , para todo n ∈ N :
Teorema 1.27 . Si x > 0 es un elemento de R y n ∈ N , entonces hay un único número y > 0 en R tal que x = y n .
Demostración . Consideremos el conjunto A = { a ∈ R : a ≥ 0 y a n ≤ x }.
Está claro que este conjunto es no vacío ( 0 ∈ A ) y está acotado superiormente : en efecto , si 0 < x ≤ 1 entonces A está acotado por 1 ( ya que