CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 19
a > 1 ⇒ a n > 1 ≥ x), mientras que si x > 1 entonces A está acotado por x( ya que a > x > 1 ⇒ a n > x n > x). Si y = supA, es claro que y > 0, ya que si x ≥ 1 entonces 1 ∈ A, y si 0 < x < 1 entonces 0 < x n < x ⇒ x > 0, x ∈ A. Veamos a continuación que efectivamente se cumple la igualdad y n = x.
En efecto, supongamos primero que fuera y n < x; entonces probaremos que ∃a ∈ A tal que a > y, lo cual contradice el que y = supA. Para ver esto, sea ɛ = x − y n > 0, y sea 0 < h < 1. Por la fórmula del binomio de Newton
( y + h) n = y n + h n∑
k = 1
() n h k−1 y n−k ≤ y n + h k = y n + h [( y + 1) n − y n ]. n∑
k = 1
() n y n−k k
( Tomando h = mín 1
2, ɛ entonces 0 < h < 1, por lo que a = y + h cumple que a > y = supA > 0 y a n =( y + h) n ≤ y n + ɛ = x, lo cual implica que a ∈ A y contradice la igualdad y = supA.
Supongamos ahora que fuera y n > x; demostraremos a continuación que hay una cota superior de A estrictamente menor que y, lo que de nuevo contradice la definición y = supA. En efecto, si ɛ = y n − x > 0 y 0 < h < 1 obtenemos como antes
( y − h) n = y n − h
≥ y n − h
Tomando h = mín k = 1
( y + 1) n −y n)
n∑
( n k n∑
( n k k = 1
( y, 1 2,
)( −1) k−1 h k−1 y n−k ≥ y n − h n∑
k = 1
) y n−k = y n − h [( y + 1) n − y n ].
) ɛ( y + 1) n −y n
() n h k−1 y n−k k
entonces 0 < h < 1, por lo que z = y−h
cumple que 0 ≤ z < y = supA y z n =( y − h) n ≥ y n − ɛ = x, lo cual implica que z es una cota superior de A y contradice la igualdad y = supA.
Por último, para probar la unicidad basta notar que si 0 < y 1 < y 2 entonces y n 1 < yn 2. Q. E. D.
Llamaremos al único número y > 0 tal que y n = x la raíz n-ésima de x, y lo denotaremos por n√ x ó x 1 / n. De la unicidad de la raíz n-ésima se siguen todas las propiedades elementales del cálculo con raíces. Por ejemplo
x > 0, y > 0 = ⇒( xy) 1 n = x 1 ny 1 n; en efecto,
( 1) x ny 1 n( 1) n( 1) n n = x n y n = xy.
Otra propiedad elemental es que( x
1 m
) 1 n
= x 1 mn,