CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 19
a > 1 ⇒ a n > 1 ≥ x ), mientras que si x > 1 entonces A está acotado por x ( ya que a > x > 1 ⇒ a n > x n > x ). Si y = supA , es claro que y > 0 , ya que si x ≥ 1 entonces 1 ∈ A , y si 0 < x < 1 entonces 0 < x n < x ⇒ x > 0 , x ∈ A . Veamos a continuación que efectivamente se cumple la igualdad y n = x .
En efecto , supongamos primero que fuera y n < x ; entonces probaremos que ∃a ∈ A tal que a > y , lo cual contradice el que y = supA . Para ver esto , sea ɛ = x − y n > 0 , y sea 0 < h < 1 . Por la fórmula del binomio de Newton
( y + h ) n = y n + h n∑
k = 1
( ) n h k−1 y n−k ≤ y n + h k = y n + h [( y + 1 ) n − y n ] . n∑
k = 1
( ) n y n−k k
( Tomando h = mín 1
2 , ɛ entonces 0 < h < 1 , por lo que a = y + h cumple que a > y = supA > 0 y a n = ( y + h ) n ≤ y n + ɛ = x , lo cual implica que a ∈ A y contradice la igualdad y = supA .
Supongamos ahora que fuera y n > x ; demostraremos a continuación que hay una cota superior de A estrictamente menor que y , lo que de nuevo contradice la definición y = supA . En efecto , si ɛ = y n − x > 0 y 0 < h < 1 obtenemos como antes
( y − h ) n = y n − h
≥ y n − h
Tomando h = mín k = 1
( y + 1 ) n −y n )
n∑
( n k n∑
( n k k = 1
( y , 1 2 ,
) ( −1 ) k−1 h k−1 y n−k ≥ y n − h n∑
k = 1
) y n−k = y n − h [( y + 1 ) n − y n ].
) ɛ ( y + 1 ) n −y n
( ) n h k−1 y n−k k
entonces 0 < h < 1 , por lo que z = y−h
cumple que 0 ≤ z < y = supA y z n = ( y − h ) n ≥ y n − ɛ = x , lo cual implica que z es una cota superior de A y contradice la igualdad y = supA .
Por último , para probar la unicidad basta notar que si 0 < y 1 < y 2 entonces y n 1 < yn 2 . Q . E . D .
Llamaremos al único número y > 0 tal que y n = x la raíz n-ésima de x , y lo denotaremos por n√ x ó x 1 / n . De la unicidad de la raíz n-ésima se siguen todas las propiedades elementales del cálculo con raíces . Por ejemplo
x > 0 , y > 0 = ⇒ ( xy ) 1 n = x 1 ny 1 n ; en efecto ,
( 1 ) x ny 1 n ( 1 ) n ( 1 ) n n = x n y n = xy .
Otra propiedad elemental es que ( x
1 m
) 1 n
= x 1 mn ,