CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 20
ya que [ ( x
1 m
) 1
] mn {[ ( 1 n = x m
) 1
] n } m ( 1 ) n m = x m = x .
También es fácil comprobar la identidad ( x m ) 1 n = ( x 1 n
) m , ∀x > 0 , ∀m , n ∈ N .
Sea , de nuevo , x > 0 . Si n ∈ N es par ( es decir , si n = 2m para algún m ∈ N ), la ecuación y n = x tiene exactamente dos soluciones :
y 1 = x 1 n > 0 , y 2 = −x 1 n < 0 .
En efecto , hemos visto que si y > 0 la ecuación anterior tiene una solución única que es por definición x 1 / n , mientras que si y < 0 entonces poniendo y = −z con z > 0 la ecuación se convierte en
( −1 ) n z n = ( −1 ) 2m z n = ( ( −1 ) 2 ) m z n = z n = x ,
que de nuevo tiene la solución única z = x 1 n , lo cual implica que y = −z = −x 1 n . Por tanto y n = x ⇐⇒ y = ± x 1 n ( x > 0 , n par ).
Si n es impar ( es decir , n = 2m−1 para algún m ∈ N ) y x > 0 , entonces la ecuación y n = x tiene la solución única y = x 1 n . En efecto , basta tener en cuenta que si y < 0 y n = 2m − 1 es impar entonces
Por tanto se cumple
y n = y 2m−1 = y 2 ( m−1 ) y = ( y m−1 ) 2 y < 0 .
y n = x ⇐⇒ y = x 1 n ( x > 0 , n impar ).
Sea ahora x < 0 . Si n es par , la ecuación y n = x no tiene ninguna solución , ya que n par implica y n ≥ 0 . Por tanto , en este caso el número x no tiene ninguna raíz n-ésima :
x < 0 , n par = ⇒ ∄y ∈ R tal que y n = x .
Por el contrario , si n es impar entonces la ecuación y n = x tiene exactamente una solución y = − ( −x ) 1 1 n = − | x | n < 0 .
En efecto , al ser x < 0 ha de ser y = −z < 0 . Sustituyendo en la ecuación y n = x y teniendo en cuenta que n es impar obtenemos la ecuación z n = −x > 0 , lo que prueba nuestra afirmación . Definiremos en este caso n√ x = x 1 / n = y , es decir
y n = x ⇐⇒ y = n√ x = − n√ −x = − n√ | x | ( x < 0 , n impar ).
En particular , si x > 0 entonces x 1 / n ≡ n√ x > 0 , mientras que si x < 0 y n es impar entonces x 1 / n ≡ n√ x < 0 .