CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 20
ya que [( x
1 m
) 1
] mn {[( 1 n = x m
) 1
] n } m( 1) n m = x m = x.
También es fácil comprobar la identidad( x m) 1 n =( x 1 n
) m, ∀x > 0, ∀m, n ∈ N.
Sea, de nuevo, x > 0. Si n ∈ N es par( es decir, si n = 2m para algún m ∈ N), la ecuación y n = x tiene exactamente dos soluciones:
y 1 = x 1 n > 0, y 2 = −x 1 n < 0.
En efecto, hemos visto que si y > 0 la ecuación anterior tiene una solución única que es por definición x 1 / n, mientras que si y < 0 entonces poniendo y = −z con z > 0 la ecuación se convierte en
( −1) n z n =( −1) 2m z n =(( −1) 2) m z n = z n = x,
que de nuevo tiene la solución única z = x 1 n, lo cual implica que y = −z = −x 1 n. Por tanto y n = x ⇐⇒ y = ± x 1 n( x > 0, n par).
Si n es impar( es decir, n = 2m−1 para algún m ∈ N) y x > 0, entonces la ecuación y n = x tiene la solución única y = x 1 n. En efecto, basta tener en cuenta que si y < 0 y n = 2m − 1 es impar entonces
Por tanto se cumple
y n = y 2m−1 = y 2( m−1) y =( y m−1) 2 y < 0.
y n = x ⇐⇒ y = x 1 n( x > 0, n impar).
Sea ahora x < 0. Si n es par, la ecuación y n = x no tiene ninguna solución, ya que n par implica y n ≥ 0. Por tanto, en este caso el número x no tiene ninguna raíz n-ésima:
x < 0, n par = ⇒ ∄y ∈ R tal que y n = x.
Por el contrario, si n es impar entonces la ecuación y n = x tiene exactamente una solución y = −( −x) 1 1 n = − | x | n < 0.
En efecto, al ser x < 0 ha de ser y = −z < 0. Sustituyendo en la ecuación y n = x y teniendo en cuenta que n es impar obtenemos la ecuación z n = −x > 0, lo que prueba nuestra afirmación. Definiremos en este caso n√ x = x 1 / n = y, es decir
y n = x ⇐⇒ y = n√ x = − n√ −x = − n√ | x |( x < 0, n impar).
En particular, si x > 0 entonces x 1 / n ≡ n√ x > 0, mientras que si x < 0 y n es impar entonces x 1 / n ≡ n√ x < 0.