CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 21
1.8 . Potencias
Si r ∈ Q , podemos escribir r = p q con p ∈ Z , q ∈ N . Si x > 0 , definimos entonces x r = ( x 1 ) q p ( = x p ) 1 q
. Nótese que esta definición tiene sentido , ya que si m ∈ N
x mp mq = ( x 1 ) [( mq mp ( 1) 1
) m ] p ( 1) = x q m = x q p .
Se demuestra fácilmente que con esta definición se cumplen las reglas usuales de las potencias , es decir
x r + s = x r x s = ⇒ 1 x r = x−r
x rs = ( x r ) s ( xy ) r = x r y r
∀r , s ∈ Q , ∀x > 0 , ∀y > 0 ( x , y ∈ R ).
Si x < 0 , la definición anterior en general no funciona , ya que en este caso n√ x no existe si n ∈ N es par . En este caso sólo podemos definir x r con
r ∈ Q si al poner r en la forma p q con p ∈ Z , q ∈ N y (| p | , q ) primos entre sí el número ( ) natural q es impar . Si r es de esta forma , definimos de nuevo x p q = x 1 p q . Puede verse entonces que las reglas anteriores siguen
siendo válidas también en este caso si tanto r como s satisfacen la condición anterior .
Utilizando lo anterior , se puede definir a x para todo a > 0 ( a ∈ R ) y para todo x ∈ R . En efecto , empecemos por suponer que a > 1 .
Lema 1.28 . Si a ∈ R , a > 1 , r , s ∈ Q y r < s , entonces a r < a s .
Demostración . El número s−r > 0 es racional , por lo que existirán p , q ∈ N tales que s − r = p / q . Si z = a s−r = ( a p ) 1 / q , entonces z > 1 , ya que si fuera z < 1 llegaríamos a la contradicción z q = a p < 1 . Multiplicando la desigualdad a s−r > 1 por a r > 0 llegamos a la desigualdad deseada . Q . E . D .
Definamos a continuación los conjuntos A − = { a r : r < x , r ∈ Q } , A + = { a r : r > x , r ∈ Q }.
Entonces A − < A + ( y tanto A − como A + obviamente no vacíos ) implica ( ejercicio ) que A − está acotado superiormente , A + está acotado inferiormente y supA − ≤ inf A + . De hecho , puede probarse la siguiente
Proposición 1.29 . supA − = inf A + .