CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 21
1.8. Potencias
Si r ∈ Q, podemos escribir r = p q con p ∈ Z, q ∈ N. Si x > 0, definimos entonces x r =( x 1) q p( = x p) 1 q
. Nótese que esta definición tiene sentido, ya que si m ∈ N
x mp mq =( x 1) [( mq mp( 1) 1
) m ] p( 1) = x q m = x q p.
Se demuestra fácilmente que con esta definición se cumplen las reglas usuales de las potencias, es decir
x r + s = x r x s = ⇒ 1 x r = x−r
x rs =( x r) s( xy) r = x r y r
∀r, s ∈ Q, ∀x > 0, ∀y > 0( x, y ∈ R).
Si x < 0, la definición anterior en general no funciona, ya que en este caso n√ x no existe si n ∈ N es par. En este caso sólo podemos definir x r con
r ∈ Q si al poner r en la forma p q con p ∈ Z, q ∈ N y(| p |, q) primos entre sí el número() natural q es impar. Si r es de esta forma, definimos de nuevo x p q = x 1 p q. Puede verse entonces que las reglas anteriores siguen
siendo válidas también en este caso si tanto r como s satisfacen la condición anterior.
Utilizando lo anterior, se puede definir a x para todo a > 0( a ∈ R) y para todo x ∈ R. En efecto, empecemos por suponer que a > 1.
Lema 1.28. Si a ∈ R, a > 1, r, s ∈ Q y r < s, entonces a r < a s.
Demostración. El número s−r > 0 es racional, por lo que existirán p, q ∈ N tales que s − r = p / q. Si z = a s−r =( a p) 1 / q, entonces z > 1, ya que si fuera z < 1 llegaríamos a la contradicción z q = a p < 1. Multiplicando la desigualdad a s−r > 1 por a r > 0 llegamos a la desigualdad deseada. Q. E. D.
Definamos a continuación los conjuntos A − = { a r: r < x, r ∈ Q }, A + = { a r: r > x, r ∈ Q }.
Entonces A − < A +( y tanto A − como A + obviamente no vacíos) implica( ejercicio) que A − está acotado superiormente, A + está acotado inferiormente y supA − ≤ inf A +. De hecho, puede probarse la siguiente
Proposición 1.29. supA − = inf A +.