CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 22
Demostración . Basta probar que dado cualquier ɛ > 0 existen r , s ∈ Q tales que r < x < s y a s − a r < ɛ ( dado que a r < supA − ≤ inf A + < a s ; véase la última propiedad 1.4.2 ). Empecemos probando que para todo ɛ > 0 existe q ∈ N tal que a 1 / q − 1 < ɛ . Como ambos miembros de la desigualdad a 1 / q < 1 + ɛ son positivos ( mayores que 1 ), basta ver que existe q ∈ N tal que a < ( 1 + ɛ ) q . Pero esto último es consecuencia de la propiedad arquimediana multiplicativa .
Dado ɛ > 0 , sea t ∈ Q tal que t > x , sea q ∈ N tal que a 1 / q < 1 + a −t ɛ , y sea r ∈ Q ∩ ( x − 1 q , x ). Si s = r + 1 q entonces r < x < s y as − a r =
a r ( a 1 / q − 1 ) < a r a −t ɛ < ɛ . Q . E . D .
Por definición , a x = supA − = inf A + .
Con esto hemos definido a x para a > 1 . Si 0 < a < 1 , guiados por las propiedades básicas de las potencias de exponente racional definimos definimos
a x = 1 ( a −1 ) x ,
ya que 1 / a > 1 si a < 1 . De esta forma tenemos definido a x para 0 < a ≠ 1 . Finalmente , definimos
1 x = 1 , ∀x ∈ R 0 x = 0 , ∀x ∈ R , x > 0 .
Nótese , en particular , que 0 x no está definido si x ≤ 0 , y que tampoco se ha definido a x cuando a < 0 y x es un real arbitrario ( a menos que x sea un número racional cuya expresión en forma de fracción irreducible tenga denominador impar ). Con estas definiciones , las propiedades de las potencias son las mismas que ya vimos para potencias con exponente racional .
Nota . Es inmediato que si a > 0 y x ∈ Q la definición de a x que acabamos de ver coincide con la definición de potencia de exponente racional dada anteriormente .
Ejercicio . Sean a y x números reales . Probar que
a > 1 , x > 0 = ⇒ a x > 1 ; 0 < a < 1 , x > 0 = ⇒ 0 < a x < 1 a > 1 , x < 0 = ⇒ 0 < a x < 1 ; 0 < a < 1 , x < 0 = ⇒ a x > 1 .
Solución . Si a > 1 y x > 0 , tomando r ∈ Q ∩ ( 0 , x ) y aplicando el Lema 1.28 obtenemos
1 = a 0 < a r ≤ supA − = a x .
Esto prueba la desigualdad pedida para a > 1 y x > 0 . Las demás desigualdades son consecuencias inmediatas de ésta . Por ejemplo , si 0 < a < 1 y x < 0 entonces