CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 22
Demostración. Basta probar que dado cualquier ɛ > 0 existen r, s ∈ Q tales que r < x < s y a s − a r < ɛ( dado que a r < supA − ≤ inf A + < a s; véase la última propiedad 1.4.2). Empecemos probando que para todo ɛ > 0 existe q ∈ N tal que a 1 / q − 1 < ɛ. Como ambos miembros de la desigualdad a 1 / q < 1 + ɛ son positivos( mayores que 1), basta ver que existe q ∈ N tal que a <( 1 + ɛ) q. Pero esto último es consecuencia de la propiedad arquimediana multiplicativa.
Dado ɛ > 0, sea t ∈ Q tal que t > x, sea q ∈ N tal que a 1 / q < 1 + a −t ɛ, y sea r ∈ Q ∩( x − 1 q, x). Si s = r + 1 q entonces r < x < s y as − a r =
a r( a 1 / q − 1) < a r a −t ɛ < ɛ. Q. E. D.
Por definición, a x = supA − = inf A +.
Con esto hemos definido a x para a > 1. Si 0 < a < 1, guiados por las propiedades básicas de las potencias de exponente racional definimos definimos
a x = 1( a −1) x,
ya que 1 / a > 1 si a < 1. De esta forma tenemos definido a x para 0 < a ≠ 1. Finalmente, definimos
1 x = 1, ∀x ∈ R 0 x = 0, ∀x ∈ R, x > 0.
Nótese, en particular, que 0 x no está definido si x ≤ 0, y que tampoco se ha definido a x cuando a < 0 y x es un real arbitrario( a menos que x sea un número racional cuya expresión en forma de fracción irreducible tenga denominador impar). Con estas definiciones, las propiedades de las potencias son las mismas que ya vimos para potencias con exponente racional.
Nota. Es inmediato que si a > 0 y x ∈ Q la definición de a x que acabamos de ver coincide con la definición de potencia de exponente racional dada anteriormente.
Ejercicio. Sean a y x números reales. Probar que
a > 1, x > 0 = ⇒ a x > 1; 0 < a < 1, x > 0 = ⇒ 0 < a x < 1 a > 1, x < 0 = ⇒ 0 < a x < 1; 0 < a < 1, x < 0 = ⇒ a x > 1.
Solución. Si a > 1 y x > 0, tomando r ∈ Q ∩( 0, x) y aplicando el Lema 1.28 obtenemos
1 = a 0 < a r ≤ supA − = a x.
Esto prueba la desigualdad pedida para a > 1 y x > 0. Las demás desigualdades son consecuencias inmediatas de ésta. Por ejemplo, si 0 < a < 1 y x < 0 entonces