CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 23
1 a > 1 , −x > 0 = ⇒
( ) 1 −x = 1 a a −x = ax > 1 .
Ejercicio . Probar que si a , x , y ∈ R se cumple
a > 1 , x < y = ⇒ a x < a y ; 0 < a < 1 , x < y = ⇒ a x > a y . ( 1.1 )
Solución . Supongamos primero que a > 1 . Al ser y − x > 0 , por el ejercicio anterior se verifica a y−x > 1 . Multiplicando por a x > 0 se obtiene la primera desigualdad . La segunda desigualdad es consecuencia inmediata de la primera .
Ejercicio . Probar que si a , b , x ∈ R se cumple
0 < a < b , x > 0 = ⇒ a x < b x ; 0 < a < b , x < 0 = ⇒ a x > b x . ( 1.2 )
Solución . Si 0 < a < b entonces b / a > 1 implica , por el primer ejercicio , que ( b / a ) x = b x / a x > 1 si x > 0 y ( b / a ) x = b x / a x < 1 si x < 0 . Multiplicando ambos miembros de estas desigualdades por a x > 0 se obtienen las desigualdades propuestas .