CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 23
1 a > 1, −x > 0 = ⇒
() 1 −x = 1 a a −x = ax > 1.
Ejercicio. Probar que si a, x, y ∈ R se cumple
a > 1, x < y = ⇒ a x < a y; 0 < a < 1, x < y = ⇒ a x > a y.( 1.1)
Solución. Supongamos primero que a > 1. Al ser y − x > 0, por el ejercicio anterior se verifica a y−x > 1. Multiplicando por a x > 0 se obtiene la primera desigualdad. La segunda desigualdad es consecuencia inmediata de la primera.
Ejercicio. Probar que si a, b, x ∈ R se cumple
0 < a < b, x > 0 = ⇒ a x < b x; 0 < a < b, x < 0 = ⇒ a x > b x.( 1.2)
Solución. Si 0 < a < b entonces b / a > 1 implica, por el primer ejercicio, que( b / a) x = b x / a x > 1 si x > 0 y( b / a) x = b x / a x < 1 si x < 0. Multiplicando ambos miembros de estas desigualdades por a x > 0 se obtienen las desigualdades propuestas.