Capítulo 2
Funciones reales de variable real
2.1. Definición. Dominio, imagen y gráfica.
Informalmente, una función entre dos conjuntos A y B es una regla que a ciertos elementos del conjunto A les asigna un elemento bien definido del conjunto B. Por ejemplo, la regla que a cada ciudadano español le asigna su estatura expresada en centímetros es una función del conjunto A de todos los ciudadanos españoles al conjunto R de los números reales. A nosotros nos interesarán casi exclusivamente las funciones reales de variable real, para las cuales A y B son subconjuntos de R. Por ejemplo, una tal función es la función f que a cada número real x le asocia su cuadrado x 2( función cuadrado), ó la función g que a cada número real x ≥ 0 le asocia su raíz cuadrada √ x( función raíz cuadrada).
Si f es una función entre A y B, escribiremos f: A → B; nótese que esta notación no significa que f esté definida para todo elemento de A. Dado un a ∈ A para el que f esté definida, denotaremos por f( a)( imagen de a bajo f, ó valor de f en a) al elemento de B asignado por f al elemento a ∈ A. Al subconjunto de A formado por todos los elementos a ∈ A para los cuales f( a) está definido lo denominaremos dominio de la función f, y lo denotaremos por dom f. Análogamente, al conjunto de todos los elementos de B que son la imagen de algún elemento de A bajo f, es decir al conjunto
{ y ∈ B: ∃a ∈ A tal que y = f( a)} = { f( a): a ∈ dom f }
le denominaremos imagen de la función f, y lo denotaremos por im f ó f( A) indistintamente. En particular,
dom f ⊂ A, im f ⊂ B. Ejemplo 2.1. Sea f: R → R la función definida por f( x) = √ x 2 − 1.
24