Capítulo 2
Funciones reales de variable real
2.1 . Definición . Dominio , imagen y gráfica .
Informalmente , una función entre dos conjuntos A y B es una regla que a ciertos elementos del conjunto A les asigna un elemento bien definido del conjunto B . Por ejemplo , la regla que a cada ciudadano español le asigna su estatura expresada en centímetros es una función del conjunto A de todos los ciudadanos españoles al conjunto R de los números reales . A nosotros nos interesarán casi exclusivamente las funciones reales de variable real , para las cuales A y B son subconjuntos de R . Por ejemplo , una tal función es la función f que a cada número real x le asocia su cuadrado x 2 ( función cuadrado ), ó la función g que a cada número real x ≥ 0 le asocia su raíz cuadrada √ x ( función raíz cuadrada ).
Si f es una función entre A y B , escribiremos f : A → B ; nótese que esta notación no significa que f esté definida para todo elemento de A . Dado un a ∈ A para el que f esté definida , denotaremos por f ( a ) ( imagen de a bajo f , ó valor de f en a ) al elemento de B asignado por f al elemento a ∈ A . Al subconjunto de A formado por todos los elementos a ∈ A para los cuales f ( a ) está definido lo denominaremos dominio de la función f , y lo denotaremos por dom f . Análogamente , al conjunto de todos los elementos de B que son la imagen de algún elemento de A bajo f , es decir al conjunto
{ y ∈ B : ∃a ∈ A tal que y = f ( a )} = { f ( a ) : a ∈ dom f }
le denominaremos imagen de la función f , y lo denotaremos por im f ó f ( A ) indistintamente . En particular ,
dom f ⊂ A , im f ⊂ B . Ejemplo 2.1 . Sea f : R → R la función definida por f ( x ) = √ x 2 − 1 .
24