CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25
Entonces dom f es el subconjunto de R tal que x 2 − 1 ≥ 0, es decir dom f = { x: | x | ≥ 1 } =( −∞, −1 ] ∪ [ 1, ∞).
Como √ a ≥ 0 para todo a ≥ 0, la imagen de f está contenida en [ 0, ∞). Para ver si la imagen de f coincide con este conjunto, hay que determinar
si para todo y ≥ 0 existe x ∈ dom f tal que √ x 2 − 1 = y.
Esto es cierto, ya que la ecuación anterior tiene obviamente las dos soluciones x = ± √ 1 + y 2 ∈ domf. Luego en este caso
im f = [ 0, ∞).
Más formalmente( dado que el concepto de regla es un tanto impreciso), podemos considerar una función como determinada por su valor en todos los puntos de su dominio, es decir por todos los pares ordenados de la forma( a, b), donde a es un elemento de A para el que f está definida y b = f( a) es la imagen de a ∈ A bajo f. Por ejemplo, la función raíz cuadrada está determinada por todos los pares de la forma( x, √ x), donde x ∈ R es un número real no negativo. Equivalentemente, la función raíz cuadrada queda perfectamente definida por el conjunto {( x,
√ x): x ∈ R, x ≥ 0 }.
Evidentemente, si( a, b 1) y( a, b 2) son dos pares ordenados asociados a la misma función f entonces
b 1 = f( a), b 2 = f( a) = ⇒ b 1 = b 2. Estas consideraciones justifican la siguiente definición formal de función:
Definición 2.2. Una función f: A → B es un subconjunto del producto cartesiano A × B con la siguiente propiedad:
( a, b) ∈ f,( a, c) ∈ f = ⇒ b = c.
Por ejemplo, el subconjunto {( x, x 2): x ∈ R } ⊂ R × R
define una función R → R( la función cuadrado), mientras que {( x, y) ∈ R × R: x 2 + y 2 = 1 } ⊂ R × R
no define una función de R en R, dado que por ejemplo tanto( 0,1) como( 0, −1) pertenecen a dicho conjunto.
Esta definición precisa de función implica que dos funciones f: A → B y g: A → B son iguales si determinan el mismo conjunto de A × B, es decir si