CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25
Entonces dom f es el subconjunto de R tal que x 2 − 1 ≥ 0 , es decir dom f = { x : | x | ≥ 1 } = ( −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ).
Como √ a ≥ 0 para todo a ≥ 0 , la imagen de f está contenida en [ 0 , ∞ ). Para ver si la imagen de f coincide con este conjunto , hay que determinar
si para todo y ≥ 0 existe x ∈ dom f tal que √ x 2 − 1 = y .
Esto es cierto , ya que la ecuación anterior tiene obviamente las dos soluciones x = ± √ 1 + y 2 ∈ domf . Luego en este caso
im f = [ 0 , ∞ ).
Más formalmente ( dado que el concepto de regla es un tanto impreciso ), podemos considerar una función como determinada por su valor en todos los puntos de su dominio , es decir por todos los pares ordenados de la forma ( a , b ), donde a es un elemento de A para el que f está definida y b = f ( a ) es la imagen de a ∈ A bajo f . Por ejemplo , la función raíz cuadrada está determinada por todos los pares de la forma ( x , √ x ), donde x ∈ R es un número real no negativo . Equivalentemente , la función raíz cuadrada queda perfectamente definida por el conjunto { ( x ,
√ x ) : x ∈ R , x ≥ 0 } .
Evidentemente , si ( a , b 1 ) y ( a , b 2 ) son dos pares ordenados asociados a la misma función f entonces
b 1 = f ( a ), b 2 = f ( a ) = ⇒ b 1 = b 2 . Estas consideraciones justifican la siguiente definición formal de función :
Definición 2.2 . Una función f : A → B es un subconjunto del producto cartesiano A × B con la siguiente propiedad :
( a , b ) ∈ f , ( a , c ) ∈ f = ⇒ b = c .
Por ejemplo , el subconjunto { ( x , x 2 ) : x ∈ R } ⊂ R × R
define una función R → R ( la función cuadrado ), mientras que { ( x , y ) ∈ R × R : x 2 + y 2 = 1 } ⊂ R × R
no define una función de R en R , dado que por ejemplo tanto ( 0,1 ) como ( 0 , −1 ) pertenecen a dicho conjunto .
Esta definición precisa de función implica que dos funciones f : A → B y g : A → B son iguales si determinan el mismo conjunto de A × B , es decir si