CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 26
i) dom f = domg ii) f( x) = g( x), ∀x ∈ dom f = dom g
Por ejemplo, la función f: R → R definida por f( x) = x 2 y la función g: R → R definida por g( x) =( x + 1) 2 − 2x − 1 son iguales.
Ejemplo 2.3. Sean f: R → R y g: R → R las funciones definidas respectivamente por f( x) = x y g( x) = √ x 2. Entonces dom f = dom g = R, y f( x) = g( x) para todo x ≥ 0. Sin embargo, f ≠ g, ya que f( x) < 0 si x < 0 y g( x) ≥ 0 para todo x ∈ R. De hecho, se tiene
√ x 2 =
√ | x | 2 = | x |, ∀x ∈ R.
Si f: R → R es una función, su gráfica es el subconjunto del plano R × R determinado por f, es decir el conjunto
{( x, f( x)
): x ∈ dom f
}.
Por definición de función, este conjunto tiene la propiedad de que una recta vertical x = a ó bien no lo corta( si a / ∈ dom f) o bien lo corta en un sólo punto( si a ∈ dom f).
x 1 / 2( x, x 1 / 2)
x
Figura 2.1: gráfica de la función raíz cuadrada
2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Una función f: A → B se dice inyectiva( ó uno-uno) si puntos distintos de dom f tienen imágenes distintas:
Equivalentemente, f es inyectiva si
x, y ∈ dom f, x ≠ y = ⇒ f( x) ≠ f( y)
∀x, y ∈ dom f, f( x) = f( y) = ⇒ x = y.