CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 26
i ) dom f = domg ii ) f ( x ) = g ( x ), ∀x ∈ dom f = dom g
Por ejemplo , la función f : R → R definida por f ( x ) = x 2 y la función g : R → R definida por g ( x ) = ( x + 1 ) 2 − 2x − 1 son iguales .
Ejemplo 2.3 . Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas respectivamente por f ( x ) = x y g ( x ) = √ x 2 . Entonces dom f = dom g = R , y f ( x ) = g ( x ) para todo x ≥ 0 . Sin embargo , f ≠ g , ya que f ( x ) < 0 si x < 0 y g ( x ) ≥ 0 para todo x ∈ R . De hecho , se tiene
√ x 2 =
√ | x | 2 = | x |, ∀x ∈ R .
Si f : R → R es una función , su gráfica es el subconjunto del plano R × R determinado por f , es decir el conjunto
{( x , f ( x )
) : x ∈ dom f
} .
Por definición de función , este conjunto tiene la propiedad de que una recta vertical x = a ó bien no lo corta ( si a / ∈ dom f ) o bien lo corta en un sólo punto ( si a ∈ dom f ).
x 1 / 2 ( x , x 1 / 2 )
x
Figura 2.1 : gráfica de la función raíz cuadrada
2.2 . Funciones inyectivas , suprayectivas y biyectivas
Una función f : A → B se dice inyectiva ( ó uno-uno ) si puntos distintos de dom f tienen imágenes distintas :
Equivalentemente , f es inyectiva si
x , y ∈ dom f , x ≠ y = ⇒ f ( x ) ≠ f ( y )
∀x , y ∈ dom f , f ( x ) = f ( y ) = ⇒ x = y .