CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 27
La función f: A → B se dice suprayectiva( ó sobreyectiva) si todo punto de B es la imagen bajo f de un punto de domf:
En otras palabras,
∀y ∈ B, ∃x ∈ dom f tal que y = f( x).
f es suprayectiva ⇐⇒ im f = B.
Nótese que el ser f inyectiva ó suprayectiva depende de la elección de los conjuntos A y B. Por ejemplo, si tomamos B = im f entonces f es automáticamente suprayectiva.
Nota. En términos de la gráfica, f: R → R es inyectiva si toda recta horizontal corta a su gráfica a lo sumo en un punto, y es suprayectiva si toda recta horizontal corta a la gráfica por lo menos en un punto.
Ejemplo 2.4. La función f: R → R definida por f( x) = x 2 no es inyectiva, ya que f( −x) = f( x), para todo x ∈ R. Tampoco es suprayectiva, ya que im f = [ 0, ∞). Sin embargo, la función g: [ 0, ∞) → R definida por g( x) = x 2 sí es inyectiva, ya que
x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 = y 2 = ⇒ x = y.
Nótese que f y g no son iguales, ya que dom f ≠ dom g. De hecho, al ser dom g ⊂ dom f y f( x) = g( x) para todo x ∈ dom g se suele decir que g es la restricción de f al conjunto [ 0, ∞). Por último, la función h: [ 0, ∞) → [ 0, ∞) definida de nuevo por h( x) = x 2 es a la vez inyectiva y suprayectiva.
Definición 2.5. Una función f: A → B es biyectiva si dom f = A, y f es a la vez inyectiva y suprayectiva.
Por ejemplo, la función h del ejemplo anterior es biyectiva. En términos de la gráfica, f: R → R es biyectiva si toda recta horizontal corta a su gráfica exactamente en un punto. El ejemplo más obvio de función biyectiva es la función identidad I A: A → A, definida por
I A( x) = x, ∀x ∈ A.
Cuando sea claro por el contexto( ó irrelevante) cuál es el conjunto A escribiremos simplemente I en lugar de I A. Es inmediato probar el siguiente resultado:
Proposición 2.6. Una función f: A → B es biyectiva si y sólo si f es invertible, es decir si y sólo si existe g: B → A tal que
g( f( x)) = x, ∀x ∈ A y f( g( y)) = y, ∀y ∈ B.( 2.1)