CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 27
La función f : A → B se dice suprayectiva ( ó sobreyectiva ) si todo punto de B es la imagen bajo f de un punto de domf :
En otras palabras ,
∀y ∈ B , ∃x ∈ dom f tal que y = f ( x ).
f es suprayectiva ⇐⇒ im f = B .
Nótese que el ser f inyectiva ó suprayectiva depende de la elección de los conjuntos A y B . Por ejemplo , si tomamos B = im f entonces f es automáticamente suprayectiva .
Nota . En términos de la gráfica , f : R → R es inyectiva si toda recta horizontal corta a su gráfica a lo sumo en un punto , y es suprayectiva si toda recta horizontal corta a la gráfica por lo menos en un punto .
Ejemplo 2.4 . La función f : R → R definida por f ( x ) = x 2 no es inyectiva , ya que f ( −x ) = f ( x ), para todo x ∈ R . Tampoco es suprayectiva , ya que im f = [ 0 , ∞ ). Sin embargo , la función g : [ 0 , ∞ ) → R definida por g ( x ) = x 2 sí es inyectiva , ya que
x ≥ 0 , y ≥ 0 , x 2 = y 2 = ⇒ x = y .
Nótese que f y g no son iguales , ya que dom f ≠ dom g . De hecho , al ser dom g ⊂ dom f y f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈ dom g se suele decir que g es la restricción de f al conjunto [ 0 , ∞ ). Por último , la función h : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) definida de nuevo por h ( x ) = x 2 es a la vez inyectiva y suprayectiva .
Definición 2.5 . Una función f : A → B es biyectiva si dom f = A , y f es a la vez inyectiva y suprayectiva .
Por ejemplo , la función h del ejemplo anterior es biyectiva . En términos de la gráfica , f : R → R es biyectiva si toda recta horizontal corta a su gráfica exactamente en un punto . El ejemplo más obvio de función biyectiva es la función identidad I A : A → A , definida por
I A ( x ) = x , ∀x ∈ A .
Cuando sea claro por el contexto ( ó irrelevante ) cuál es el conjunto A escribiremos simplemente I en lugar de I A . Es inmediato probar el siguiente resultado :
Proposición 2.6 . Una función f : A → B es biyectiva si y sólo si f es invertible , es decir si y sólo si existe g : B → A tal que
g ( f ( x ) ) = x , ∀x ∈ A y f ( g ( y )) = y , ∀y ∈ B . ( 2.1 )