CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 28
Diremos que la función g : B → A que cumple ( 2.1 ) es la inversa de la función invertible f , y escribiremos
g = f −1 .
Nótese que según esta definición la función g también es invertible ( y por tanto biyectiva ), siendo g −1 = f .
En otras palabras , se cumple ( f
−1 ) −1
= f ,
y análogamente para g . La relación entre f y f −1 se puede expresar concisamente en la forma siguiente :
y = f ( x ) ⇐⇒ x = f −1 ( y ), ( x ∈ A , y ∈ B ).
Ejemplo 2.7 . Sea h : R → R la función definida para todo x ∈ R por h ( x ) = x 2 − x . Para ver si esta función es biyectiva , basta comprobar que la ecuación en x x 2 − x = y
tiene una solución única para todo y ∈ R . ( Si ésto es así , para cada y la solución de esta ecuación es precisamente h −1 ( y )). Completando el cuadrado obtenemos la ecuación equivalente
( 1) 2 1 x − = y + 2 4 .
Esta ecuación tiene solución si y sólo si y ≥ −1 / 4 ; por tanto , imh = [ −1 / 4 , ∞ ). Sin embargo , para y > −1 / 4 la ecuación anterior tiene dos soluciones distintas x = 1 √ 2 ± y + 1
4 ,
una de las cuales es mayor que 1 / 2 y la otra menor que 1 / 2 . Por tanto , la función h no es ni inyectiva ni biyectiva . Sin embargo la función f : [ 1 / 2 , ∞ ) → [ −1 / 4 , ∞ ) definida de nuevo por f ( x ) = x 2 − x es invertible , siendo su inversa la función f −1 : [ −1 / 4 , ∞ ) → [ 1 / 2 , ∞ ) definida por
f −1 ( y ) = 1 2 + √ y + 1 , ∀y ≥ −1 4 4
( y análogamente para la restricción de h al intervalo infinito ( −∞ , −1 / 2 ] considerada como función ( −∞ , −1 / 2 ] → [ −1 / 4 , ∞ ).) Todo esto es muy fácil de comprender intuitivamente dibujando la gráfica de h ( fig . 2.2 ).