CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 28
Diremos que la función g: B → A que cumple( 2.1) es la inversa de la función invertible f, y escribiremos
g = f −1.
Nótese que según esta definición la función g también es invertible( y por tanto biyectiva), siendo g −1 = f.
En otras palabras, se cumple( f
−1) −1
= f,
y análogamente para g. La relación entre f y f −1 se puede expresar concisamente en la forma siguiente:
y = f( x) ⇐⇒ x = f −1( y),( x ∈ A, y ∈ B).
Ejemplo 2.7. Sea h: R → R la función definida para todo x ∈ R por h( x) = x 2 − x. Para ver si esta función es biyectiva, basta comprobar que la ecuación en x x 2 − x = y
tiene una solución única para todo y ∈ R.( Si ésto es así, para cada y la solución de esta ecuación es precisamente h −1( y)). Completando el cuadrado obtenemos la ecuación equivalente
( 1) 2 1 x − = y + 2 4.
Esta ecuación tiene solución si y sólo si y ≥ −1 / 4; por tanto, imh = [ −1 / 4, ∞). Sin embargo, para y > −1 / 4 la ecuación anterior tiene dos soluciones distintas x = 1 √ 2 ± y + 1
4,
una de las cuales es mayor que 1 / 2 y la otra menor que 1 / 2. Por tanto, la función h no es ni inyectiva ni biyectiva. Sin embargo la función f: [ 1 / 2, ∞) → [ −1 / 4, ∞) definida de nuevo por f( x) = x 2 − x es invertible, siendo su inversa la función f −1: [ −1 / 4, ∞) → [ 1 / 2, ∞) definida por
f −1( y) = 1 2 + √ y + 1, ∀y ≥ −1 4 4
( y análogamente para la restricción de h al intervalo infinito( −∞, −1 / 2 ] considerada como función( −∞, −1 / 2 ] → [ −1 / 4, ∞).) Todo esto es muy fácil de comprender intuitivamente dibujando la gráfica de h( fig. 2.2).