CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 29
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Figura 2.2: gráfica de la función h( x) = x 2 − x
2.3. Composición de funciones
Lo anterior se puede formular de manera más concisa utilizando el concepto de composición de funciones. Por definición, si f: A → B y g: B → C la composición de g con f es la función g ◦f: A → C definida por
El dominio de g ◦f es el conjunto
( g ◦f)( x) = g( f( x)).
dom( g ◦f) = { x ∈ dom f: f( x) ∈ dom g } ⊂ dom f;
en particular, g ◦f estará definida sólo si dicho conjunto es no vacío. Por ejemplo, si f: R → R y g: R → R están definidas respectivamente por f( x) = −1 −x 2 y g( x) = 4√ x entonces g ◦f no está definida. Nótese también que el orden es importante en la notación g ◦f, ya que en general g ◦f ≠ f ◦g. Por ejemplo, en este caso
( f ◦g)( x) = f( g( x)) = f( x 1 / 4) = −1 −( x 1 / 4) 2 = −1 − √ x, ∀x ≥ 0.
Utilizando el concepto de composición, podemos formular la Proposición 2.6 como sigue: f: A → B es invertible si y sólo si existe g: B → A tal que
f ◦g = I B, g ◦f = I A.
2.4. Funciones monótonas
Una función f: R → R es monótona creciente si x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f( x) < f( y),