CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 30
y monótona no decreciente si x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f( x) ≤ f( y),
La función f es monótona decreciente ó monótona no creciente si −f es monótona creciente o monótona no decreciente, siendo
( −f)( x) = −f( x), ∀x ∈ dom f. En otras palabras, f es monótona decreciente ó monótona no creciente si
ó x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f( x) > f( y)
x, y ∈ dom f, x < y ⇒ f( x) ≥ f( y),
respectivamente. Finalmente, diremos que f es estrictamente monótona si es monótona creciente ó decreciente. Es claro que una función estrictamente monótona es inyectiva, y por tanto será biyectiva si y sólo si es suprayectiva.
Ejercicio. Probar que si f es estrictamente monótona e invertible entonces f −1 es monótona del mismo tipo que f.
2.5. Logaritmos
Dado a > 0, consideremos la función f a: R →( 0, ∞) definida por f a( x) = a x para todo x ∈ R( obsérvese que a x > 0 para todo x ∈ R). Por las propiedades de las potencias vistas en el capítulo anterior( ec.( 1.1)), si 0 < a < 1 f a es monótona decreciente, mientras que para a > 1 f a es monótona creciente( f 1 es la función constante 1). Por tanto, si 1 ≠ a > 0 la función f a es inyectiva. Se puede ver( cf. la gráfica de estas funciones) que para estos valores de a la función f a es también suprayectiva, y por tanto biyectiva:
Demostración. Supongamos, en primer lugar, que a > 1; hay que probar que para todo y > 0 existe x ∈ R tal que a x = y. Para ello consideramos el conjunto
A = { t ∈ R: a t < y }.
A es no vacío por la propiedad arquimediana multiplicativa de R( al ser a > 1, existe p ∈ N tal que a p > 1 / y, y por tanto −p ∈ A). Además, A está acotado superiormente, ya que( de nuevo por la propiedad arquimediana multiplicativa) existe q ∈ N tal que a q > y, y al ser a > 1 de esto se sigue que A < q. Por tanto, existe x = supA; probaremos a continuación que a x = y. En efecto, si fuera a x < y entonces podríamos escoger( una vez más por la propiedad arquimediana multiplicativa) n ∈ N tal que( y a −x) n > a.