CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 30
y monótona no decreciente si x , y ∈ dom f , x < y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ),
La función f es monótona decreciente ó monótona no creciente si −f es monótona creciente o monótona no decreciente , siendo
( −f )( x ) = −f ( x ), ∀x ∈ dom f . En otras palabras , f es monótona decreciente ó monótona no creciente si
ó x , y ∈ dom f , x < y ⇒ f ( x ) > f ( y )
x , y ∈ dom f , x < y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ),
respectivamente . Finalmente , diremos que f es estrictamente monótona si es monótona creciente ó decreciente . Es claro que una función estrictamente monótona es inyectiva , y por tanto será biyectiva si y sólo si es suprayectiva .
Ejercicio . Probar que si f es estrictamente monótona e invertible entonces f −1 es monótona del mismo tipo que f .
2.5 . Logaritmos
Dado a > 0 , consideremos la función f a : R → ( 0 , ∞ ) definida por f a ( x ) = a x para todo x ∈ R ( obsérvese que a x > 0 para todo x ∈ R ). Por las propiedades de las potencias vistas en el capítulo anterior ( ec . ( 1.1 )), si 0 < a < 1 f a es monótona decreciente , mientras que para a > 1 f a es monótona creciente ( f 1 es la función constante 1 ). Por tanto , si 1 ≠ a > 0 la función f a es inyectiva . Se puede ver ( cf . la gráfica de estas funciones ) que para estos valores de a la función f a es también suprayectiva , y por tanto biyectiva :
Demostración . Supongamos , en primer lugar , que a > 1 ; hay que probar que para todo y > 0 existe x ∈ R tal que a x = y . Para ello consideramos el conjunto
A = { t ∈ R : a t < y } .
A es no vacío por la propiedad arquimediana multiplicativa de R ( al ser a > 1 , existe p ∈ N tal que a p > 1 / y , y por tanto −p ∈ A ). Además , A está acotado superiormente , ya que ( de nuevo por la propiedad arquimediana multiplicativa ) existe q ∈ N tal que a q > y , y al ser a > 1 de esto se sigue que A < q . Por tanto , existe x = supA ; probaremos a continuación que a x = y . En efecto , si fuera a x < y entonces podríamos escoger ( una vez más por la propiedad arquimediana multiplicativa ) n ∈ N tal que ( y a −x ) n > a .