CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 31
Pero entonces se tendría a x + 1 n < y , y por tanto x + 1 n
> x ≡ sup A pertenecería a A . Análogamente , si a x > y entonces la propiedad arquimediana multiplicativa implicaría la existencia de m ∈ N tal que ( y −1 a x ) m > a , lo cual es equivalente a la desigualdad a x− 1 m > y . Esto implica ( al ser a > 1 ) que A < x − 1 m
< x ≡ supA , lo que de nuevo contradice la definición de supA . Luego ha de ser a x = y . Esto prueba la suprayectividad de f a para a > 1 . Si 0 < a < 1 , la suprayectividad de f a se deduce de lo anterior utilizando la igualdad f a ( x ) = f 1 / a ( −x ). Q . E . D .
a x ( a < 1 ) a x ( a > 1 )
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Figura 2.3 : gráfica de la función a x
Si 0 < a ≠ 1 , a la función inversa de f a le llamaremos logaritmo en base a , y la denotaremos por log a . En particular , nótese que log a : ( 0 , ∞ ) → R . Por definición ,
Si y > 0 , x = log a y ⇐⇒ y = a x ó también
En particular ,
a log a x = x , ∀x > 0 ; log a ( a x ) = x , ∀x ∈ R .
log a 1 = 0 , log a a = 1 ; ∀a > 0 .
La gráfica de la función log a se puede obtener fácilmente de la de la función f a :