CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 31
Pero entonces se tendría a x + 1 n < y, y por tanto x + 1 n
> x ≡ sup A pertenecería a A. Análogamente, si a x > y entonces la propiedad arquimediana multiplicativa implicaría la existencia de m ∈ N tal que( y −1 a x) m > a, lo cual es equivalente a la desigualdad a x− 1 m > y. Esto implica( al ser a > 1) que A < x − 1 m
< x ≡ supA, lo que de nuevo contradice la definición de supA. Luego ha de ser a x = y. Esto prueba la suprayectividad de f a para a > 1. Si 0 < a < 1, la suprayectividad de f a se deduce de lo anterior utilizando la igualdad f a( x) = f 1 / a( −x). Q. E. D.
a x( a < 1) a x( a > 1)
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Figura 2.3: gráfica de la función a x
Si 0 < a ≠ 1, a la función inversa de f a le llamaremos logaritmo en base a, y la denotaremos por log a. En particular, nótese que log a:( 0, ∞) → R. Por definición,
Si y > 0, x = log a y ⇐⇒ y = a x ó también
En particular,
a log a x = x, ∀x > 0; log a( a x) = x, ∀x ∈ R.
log a 1 = 0, log a a = 1; ∀a > 0.
La gráfica de la función log a se puede obtener fácilmente de la de la función f a: