CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 32
log a x( a < 1) log a x( a > 1)
1
1
Figura 2.4: gráfica de la función log a
Por el ejercicio 2.4, log a es monótona creciente( decreciente) si a > 1( a < 1). Nótese también que
En efecto, log 1 / a x = − log a x, ∀a > 0, ∀x > 0.
log 1 / a x = y ⇐⇒( 1 / a) y = x ⇐⇒ a −y = x ⇐⇒ −y = log a x
Las propiedades de la función log a se deducen de propiedades análogas de f a. Por ejemplo, de
se deduce que a x + y = a x a y,
∀a > 0, ∀x, y ∈ R
x + y = log a( a x a y).
Si llamamos u = a x > 0, v = a y > 0 entonces x = log a u, y = log a v y obtenemos una de las propiedades fundamentales de la función logaritmo:
Análogamente, de
obtenemos log a( uv) = log a u + log a v, ∀u > 0, v > 0.
( a y) x = a xy
log a( v x) = xlog a v, ∀v > 0, ∀x ∈ R.
Ejercicio. Utilizar las propiedades anteriores para probar que si a, b y x son números reales positivos entonces se tiene:
Deducir de esto que log b x = log b a · log a x.
log a b =( log b a) −1.