CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 32
log a x ( a < 1 ) log a x ( a > 1 )
1
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Figura 2.4 : gráfica de la función log a
Por el ejercicio 2.4 , log a es monótona creciente ( decreciente ) si a > 1 ( a < 1 ). Nótese también que
En efecto , log 1 / a x = − log a x , ∀a > 0 , ∀x > 0 .
log 1 / a x = y ⇐⇒ ( 1 / a ) y = x ⇐⇒ a −y = x ⇐⇒ −y = log a x
Las propiedades de la función log a se deducen de propiedades análogas de f a . Por ejemplo , de
se deduce que a x + y = a x a y ,
∀a > 0 , ∀x , y ∈ R
x + y = log a ( a x a y ).
Si llamamos u = a x > 0 , v = a y > 0 entonces x = log a u , y = log a v y obtenemos una de las propiedades fundamentales de la función logaritmo :
Análogamente , de
obtenemos log a ( uv ) = log a u + log a v , ∀u > 0 , v > 0 .
( a y ) x = a xy
log a ( v x ) = xlog a v , ∀v > 0 , ∀x ∈ R .
Ejercicio . Utilizar las propiedades anteriores para probar que si a , b y x son números reales positivos entonces se tiene :
Deducir de esto que log b x = log b a · log a x .
log a b = ( log b a ) −1 .