CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 33
Solución . Si y = log a x entonces a y = x , a = b log b a = ⇒ x = b y log b a = ⇒ log b x = y log b a = log b a · log a x . Haciendo x = b obtenemos la segunda igualdad .
2.6 . Funciones periódicas
Una función f : R → R es periódica si existe algún número a > 0 tal que f ( x + a ) = f ( x ), ∀x ∈ dom f .
A cualquier número a > 0 que cumpla la condición anterior se le denomina un período de f . Es obvio que si a > 0 es un período de f también lo es na , para todo n ∈ N ( de hecho , la igualdad anterior se verifica para todo n ∈ Z si suponemos que dom f es invariante bajo la translación x ↦→ x − a ). El mínimo período de f es el mínimo del conjunto de períodos de f , si es que dicho conjunto ( que está acotado inferiormente por cero ) posee un mínimo . Cuando f posee un período mínimo T , normalmente se dice que f es una función de período T , ó que el período de f es T , aún cuando , estrictamente hablando , cualquier número de la forma nT con n ∈ N también es un período de f .
Ejemplo 2.8 . La función f : R → R definida por { 0 , si x es racional f ( x ) =
1 , si x es irracional
es periódica . En efecto , es fácil ver que cualquier racional positivo es un período de f . Esta función no tiene un período mínimo , ya que el conjunto de períodos de f no tiene mínimo ( su ínfimo es cero ).
Ejemplo 2.9 . La función f : R → R definida por f ( x ) = ( −1 ) [ x ] es una función periódica de período 2 ( cf . su gráfica ).