CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 33
Solución. Si y = log a x entonces a y = x, a = b log b a = ⇒ x = b y log b a = ⇒ log b x = y log b a = log b a · log a x. Haciendo x = b obtenemos la segunda igualdad.
2.6. Funciones periódicas
Una función f: R → R es periódica si existe algún número a > 0 tal que f( x + a) = f( x), ∀x ∈ dom f.
A cualquier número a > 0 que cumpla la condición anterior se le denomina un período de f. Es obvio que si a > 0 es un período de f también lo es na, para todo n ∈ N( de hecho, la igualdad anterior se verifica para todo n ∈ Z si suponemos que dom f es invariante bajo la translación x ↦→ x − a). El mínimo período de f es el mínimo del conjunto de períodos de f, si es que dicho conjunto( que está acotado inferiormente por cero) posee un mínimo. Cuando f posee un período mínimo T, normalmente se dice que f es una función de período T, ó que el período de f es T, aún cuando, estrictamente hablando, cualquier número de la forma nT con n ∈ N también es un período de f.
Ejemplo 2.8. La función f: R → R definida por { 0, si x es racional f( x) =
1, si x es irracional
es periódica. En efecto, es fácil ver que cualquier racional positivo es un período de f. Esta función no tiene un período mínimo, ya que el conjunto de períodos de f no tiene mínimo( su ínfimo es cero).
Ejemplo 2.9. La función f: R → R definida por f( x) =( −1) [ x ] es una función periódica de período 2( cf. su gráfica).