CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 60
Ejemplo 3.28. Si a > 0, la función f: R →( 0, ∞) definida por f( x) = a x, ∀x ∈ R,
es continua en todo R. En efecto, f =( log a) −1, siendo log a:( 0, ∞) → R continua( y, por supuesto, inyectiva) en el intervalo( 0, ∞). De esto se deduce también la continuidad en todos los puntos de su dominio de la función g:( 0, ∞) → R definida por g( x) = x α,
siendo α ∈ R un número fijo. En efecto, g = f ◦( α log a) es composición de funciones continuas.
Ejercicio.
i) Probar que si α = p / q es un número racional con p ∈ Z y q ∈ N primos entre sí, y q es impar, entonces la función g( x) = x α es continua en( −∞, 0).
ii) Demostrar que si α > 0 es de la forma anterior entonces g es continua en 0, y si α > 0 es un número real cualquiera g es continua por la derecha en 0.
iii) Finalmente, probar que si α < 0 se verifica lím x→0 + xα = ∞,
y si α = −p / q < 0 con p, q ∈ N primos entre sí y q impar entonces lím x→0− xα =( −1) p ∞.
Solución. Si α = p / q ∈ Q siendo p ∈ Z y q ∈ N primos entre sí, y q es impar, entonces
x α =( x 1 / q) p =( −1) p(( −x) 1 / q) p =( −1) p( −x) α.
Esto prueba la continuidad de g para x < 0. Si α > 0 es un número real arbitrario entonces lím x→0 + xα = 0,
ya que dado ɛ > 0 podemos conseguir que | x | α = x α < ɛ sin más que tomar 0 < x < ɛ 1 / α. Si α = p / q ∈ Q con p, q ∈ N primos entre sí y q impar entonces lím x→0− xα = lím( −t) α = lím( −1) p t α =( −1) p · 0 = 0.
t→0 + t→0 +
Por tanto, en este caso lím x→0 xα = 0,
y g es continua en 0. Los dos últimos límites se deducen de los anteriores observando que si α = −β < 0 entonces x α = 1 / x β.