CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 60
Ejemplo 3.28 . Si a > 0 , la función f : R → ( 0 , ∞ ) definida por f ( x ) = a x , ∀x ∈ R ,
es continua en todo R . En efecto , f = ( log a ) −1 , siendo log a : ( 0 , ∞ ) → R continua ( y , por supuesto , inyectiva ) en el intervalo ( 0 , ∞ ). De esto se deduce también la continuidad en todos los puntos de su dominio de la función g : ( 0 , ∞ ) → R definida por g ( x ) = x α ,
siendo α ∈ R un número fijo . En efecto , g = f ◦ ( α log a ) es composición de funciones continuas .
Ejercicio .
i ) Probar que si α = p / q es un número racional con p ∈ Z y q ∈ N primos entre sí , y q es impar , entonces la función g ( x ) = x α es continua en ( −∞ , 0 ).
ii ) Demostrar que si α > 0 es de la forma anterior entonces g es continua en 0 , y si α > 0 es un número real cualquiera g es continua por la derecha en 0 .
iii ) Finalmente , probar que si α < 0 se verifica lím x→0 + xα = ∞ ,
y si α = −p / q < 0 con p , q ∈ N primos entre sí y q impar entonces lím x→0− xα = ( −1 ) p ∞ .
Solución . Si α = p / q ∈ Q siendo p ∈ Z y q ∈ N primos entre sí , y q es impar , entonces
x α = ( x 1 / q ) p = ( −1 ) p ( ( −x ) 1 / q ) p = ( −1 ) p ( −x ) α .
Esto prueba la continuidad de g para x < 0 . Si α > 0 es un número real arbitrario entonces lím x→0 + xα = 0 ,
ya que dado ɛ > 0 podemos conseguir que | x | α = x α < ɛ sin más que tomar 0 < x < ɛ 1 / α . Si α = p / q ∈ Q con p , q ∈ N primos entre sí y q impar entonces lím x→0− xα = lím ( −t ) α = lím ( −1 ) p t α = ( −1 ) p · 0 = 0 .
t→0 + t→0 +
Por tanto , en este caso lím x→0 xα = 0 ,
y g es continua en 0 . Los dos últimos límites se deducen de los anteriores observando que si α = −β < 0 entonces x α = 1 / x β .