CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 59
cumple entonces
x 1 < x < x 2 = ⇒ f( a) − ɛ ≤ f( a) − ɛ ′ = f( x 1) < f( x) < f( x 2) = f( a) + ɛ ′ ≤ f( a) + ɛ.
La definición de continuidad se cumple, por tanto, tomando δ = mín( a − x 1, x 2 − a) > 0. Q. E. D.
Teorema 3.25. Si f: R → R es continua en J, entonces f es inyectiva en J si y sólo si f es estrictamente monótona en J.
Demostración. Basta probar que si f es continua e inyectiva en el intervalo J entonces f es estrictamente monótona en J. Supongamos que no lo fuera; entonces( al ser f inyectiva) existirían tres puntos x < y < z en el intervalo J tales que f( x) < f( y) y f( y) > f( z), ó f( x) > f( y) y f( y) < f( z). Veamos, por ejemplo, que no se puede dar la primera de estas dos posibilidades( la segunda se trata exactamente igual, ó simplemente se aplica lo que veremos a continuación a la función −f). En efecto, [ x, y ] ⊂ J e [ y, z ] ⊂ J al ser J un intervalo, y al ser f continua en J también lo será en [ x, y ] y en [ y, z ]. Si f( z) > f( x), aplicando el teorema de los valores intermedios a f en el intervalo [ x, y ], deducimos que existe t ∈( x, y) tal que f( t) = f( z). Pero esto contradice claramente la inyectividad de f en J, ya que t < y < z implica que t ≠ z. Análogamente, si f( z) < f( x) entonces el teorema de los valores intermedios aplicado a f en el intervalo [ y, z ] proporciona la existencia de u ∈( y, z) tal que f( u) = f( x). Esto es, de nuevo, contradictorio, ya que x < y < u implica que x ≠ u. Q. E. D.
Teorema 3.26. Si f: J → f( J) es inyectiva y continua en un intervalo J, entonces f −1 es continua en f( J).
Demostración. Al ser f inyectiva y ser por construcción im f = f( J), f es biyectiva en J, y por tanto existe f −1: f( J) → J. Por el teorema anterior, f es estrictamente monótona, y por el Teorema 3.23 f( J) es un intervalo. Por tanto, f −1 es una función estrictamente monótona en el intervalo f( J), y f −1( f( J)) = J es un intervalo. Por el Teorema 3.24, f −1 es continua en f( J). Q. E. D.
Ejemplo 3.27. Las funciones trigonométricas inversas son continuas en sus dominios. En efecto, la continuidad de arccos, arccot, arcsen y arctan se deduce aplicando el teorema anterior a cos, cot, sen y tan restringidas a los intervalos [ 0, π ],( 0, π), [ −π / 2, π / 2 ] y( −π / 2, π / 2), respectivamente. En cuanto a arcsec y arccsc, su continuidad se deduce de las identidades
arcsec x = arccos 1 x, arccsc x = arcsen 1, ∀x ∈ R −( −1, 1). x