CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 59
cumple entonces
x 1 < x < x 2 = ⇒ f ( a ) − ɛ ≤ f ( a ) − ɛ ′ = f ( x 1 ) < f ( x ) < f ( x 2 ) = f ( a ) + ɛ ′ ≤ f ( a ) + ɛ .
La definición de continuidad se cumple , por tanto , tomando δ = mín ( a − x 1 , x 2 − a ) > 0 . Q . E . D .
Teorema 3.25 . Si f : R → R es continua en J , entonces f es inyectiva en J si y sólo si f es estrictamente monótona en J .
Demostración . Basta probar que si f es continua e inyectiva en el intervalo J entonces f es estrictamente monótona en J . Supongamos que no lo fuera ; entonces ( al ser f inyectiva ) existirían tres puntos x < y < z en el intervalo J tales que f ( x ) < f ( y ) y f ( y ) > f ( z ), ó f ( x ) > f ( y ) y f ( y ) < f ( z ). Veamos , por ejemplo , que no se puede dar la primera de estas dos posibilidades ( la segunda se trata exactamente igual , ó simplemente se aplica lo que veremos a continuación a la función −f ). En efecto , [ x , y ] ⊂ J e [ y , z ] ⊂ J al ser J un intervalo , y al ser f continua en J también lo será en [ x , y ] y en [ y , z ]. Si f ( z ) > f ( x ), aplicando el teorema de los valores intermedios a f en el intervalo [ x , y ], deducimos que existe t ∈ ( x , y ) tal que f ( t ) = f ( z ). Pero esto contradice claramente la inyectividad de f en J , ya que t < y < z implica que t ≠ z . Análogamente , si f ( z ) < f ( x ) entonces el teorema de los valores intermedios aplicado a f en el intervalo [ y , z ] proporciona la existencia de u ∈ ( y , z ) tal que f ( u ) = f ( x ). Esto es , de nuevo , contradictorio , ya que x < y < u implica que x ≠ u . Q . E . D .
Teorema 3.26 . Si f : J → f ( J ) es inyectiva y continua en un intervalo J , entonces f −1 es continua en f ( J ).
Demostración . Al ser f inyectiva y ser por construcción im f = f ( J ), f es biyectiva en J , y por tanto existe f −1 : f ( J ) → J . Por el teorema anterior , f es estrictamente monótona , y por el Teorema 3.23 f ( J ) es un intervalo . Por tanto , f −1 es una función estrictamente monótona en el intervalo f ( J ), y f −1 ( f ( J ) ) = J es un intervalo . Por el Teorema 3.24 , f −1 es continua en f ( J ). Q . E . D .
Ejemplo 3.27 . Las funciones trigonométricas inversas son continuas en sus dominios . En efecto , la continuidad de arccos , arccot , arcsen y arctan se deduce aplicando el teorema anterior a cos , cot , sen y tan restringidas a los intervalos [ 0 , π ], ( 0 , π ), [ −π / 2 , π / 2 ] y ( −π / 2 , π / 2 ), respectivamente . En cuanto a arcsec y arccsc , su continuidad se deduce de las identidades
arcsec x = arccos 1 x , arccsc x = arcsen 1 , ∀x ∈ R − ( −1 , 1 ). x