CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 58
Los siguientes teoremas son consecuencia directa del teorema de los valores intermedios:
Teorema 3.23. Si f: R → R es continua en un intervalo J, entonces f( J) es un intervalo.
Demostración. Si f( a) < f( b) pertenecen ambos a f( J), entonces a ≠ b. Suponiendo, por ejemplo, que a < b, se tiene que [ a, b ] ⊂ J al ser J un intervalo. Como f es continua en J, lo será también en [ a, b ]. Aplicando el teorema de los valores intermedios se obtiene que para todo c en el intervalo( f( a), f( b)) existe x ∈( a, b) ⊂ J tal que c = f( x). Esto implica que [ f( a), f( b)] ⊂ f( J), y f( J) es por tanto un intervalo. Q. E. D.
Teorema 3.24. Si f: R → R es una función estrictamente monótona en un intervalo J, entonces f es continua en J si y sólo si f( J) es un intervalo.
Demostración. Por el teorema anterior, basta probar que si f es( por ejemplo) monótona creciente y f( J) es un intervalo, entonces f es continua en J. Probaremos que f es continua en todo punto a interior a J( es decir, a ∈ J y a no es un extremo de J); el caso en que a es un extremo de J, que es totalmente análogo, se propone como ejercicio para el lector.
Al ser a interior a J, podemos encontrar h > 0 tal que( a−h, a + h) ⊂ J. Por hipótesis, se cumple
f( a) ∈( f( a − h), f( a + h)) ⊂ f( J). Dado ɛ > 0, podemos encontrar ɛ ′ tal que 0 < ɛ ′ ≤ ɛ y( f( a) −ɛ ′, f( a)+ ɛ ′) ⊂( f( a−h), f( a + h)
) ⊂ f( J); por ejemplo, basta tomar ɛ ′ = mín( ɛ, f( a + h) − f( a), f( a) − f( a − h)). f( x) f( a + h)
f( a)+ ε ' f( a) f( a)– ε '
f( a – h) a – h x 1 a x 2 a + h x
Figura 3.4: definición de x 1 y x 2( ɛ = ɛ ′)
Por ser f monótona creciente, existen x 1, x 2 ∈( a − h, a + h) ⊂ J tales que x 1 < a < x 2 y f( x 1) = f( a) − ɛ ′, f( x 2) = f( a) + ɛ ′( veáse la fig. 3.4). Se