CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 58
Los siguientes teoremas son consecuencia directa del teorema de los valores intermedios :
Teorema 3.23 . Si f : R → R es continua en un intervalo J , entonces f ( J ) es un intervalo .
Demostración . Si f ( a ) < f ( b ) pertenecen ambos a f ( J ), entonces a ≠ b . Suponiendo , por ejemplo , que a < b , se tiene que [ a , b ] ⊂ J al ser J un intervalo . Como f es continua en J , lo será también en [ a , b ]. Aplicando el teorema de los valores intermedios se obtiene que para todo c en el intervalo ( f ( a ), f ( b ) ) existe x ∈ ( a , b ) ⊂ J tal que c = f ( x ). Esto implica que [ f ( a ), f ( b )] ⊂ f ( J ), y f ( J ) es por tanto un intervalo . Q . E . D .
Teorema 3.24 . Si f : R → R es una función estrictamente monótona en un intervalo J , entonces f es continua en J si y sólo si f ( J ) es un intervalo .
Demostración . Por el teorema anterior , basta probar que si f es ( por ejemplo ) monótona creciente y f ( J ) es un intervalo , entonces f es continua en J . Probaremos que f es continua en todo punto a interior a J ( es decir , a ∈ J y a no es un extremo de J ); el caso en que a es un extremo de J , que es totalmente análogo , se propone como ejercicio para el lector .
Al ser a interior a J , podemos encontrar h > 0 tal que ( a−h , a + h ) ⊂ J . Por hipótesis , se cumple
f ( a ) ∈ ( f ( a − h ), f ( a + h ) ) ⊂ f ( J ). Dado ɛ > 0 , podemos encontrar ɛ ′ tal que 0 < ɛ ′ ≤ ɛ y ( f ( a ) −ɛ ′ , f ( a )+ ɛ ′ ) ⊂ ( f ( a−h ), f ( a + h )
) ⊂ f ( J ); por ejemplo , basta tomar ɛ ′ = mín ( ɛ , f ( a + h ) − f ( a ), f ( a ) − f ( a − h ) ) . f ( x ) f ( a + h )
f ( a )+ ε ' f ( a ) f ( a )– ε '
f ( a – h ) a – h x 1 a x 2 a + h x
Figura 3.4 : definición de x 1 y x 2 ( ɛ = ɛ ′ )
Por ser f monótona creciente , existen x 1 , x 2 ∈ ( a − h , a + h ) ⊂ J tales que x 1 < a < x 2 y f ( x 1 ) = f ( a ) − ɛ ′ , f ( x 2 ) = f ( a ) + ɛ ′ ( veáse la fig . 3.4 ). Se