CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 57
ejemplo, la función anterior es continua pero no está acotada en el intervalo acotado( 0, 1), y la función identidad es continua pero tampoco está acotada en el intervalo cerrado [ 0, ∞).
3.3.4. Existencia de máximo y mínimo
El siguiente teorema, que es un refinamiento del anterior, afirma la existencia de un máximo y un mínimo de im f si f es una función continua en un intervalo compacto [ a, b ]:
Teorema 3.22. Si f es una función continua en [ a, b ]( con a < b), entonces existen x 1, x 2 ∈ [ a, b ] tales que
f( x 1) ≤ f( x) ≤ f( x 2), ∀x ∈ [ a, b ].
En otras palabras, una función continua en un intervalo compacto alcanza su máximo y su mínimo en dicho intervalo.
Demostración. Probemos, en primer lugar, que existe x 2 ∈ [ a, b ] tal que f( x) ≤ f( x 2) para todo x ∈ [ a, b ]. En efecto, consideremos el conjunto
A = f([ a, b ]) = { f( x): x ∈ [ a, b ]}.
Dicho conjunto es obviamente no vacío, y está acotado superiormente por el teorema anterior. Por tanto, existirá z = sup A; basta probar que z ∈ A, es decir que z = f( x 2) para algún x 2 ∈ [ a, b ]. Supongamos que esto no fuera cierto. Entonces la función g = 1 z−f sería continua en [ a, b ], ya que el denominador no se anularía para ningún x ∈ [ a, b ]. Como z = supA y z ∈/ A por hipótesis, dado ɛ > 0 existe y ∈ A tal que y ∈( z − ɛ, z), es decir existe x ∈ [ a, b ] tal que z − ɛ < f( x) < z. Esto implica que para todo ɛ > 0 existe x ∈ [ a, b ] tal que g( x) > 1 / ɛ. En otras palabras, g no está acotada superiormente en [ a, b ], lo que contradice el teorema anterior.
Resta sólo probar la existencia de algún x 1 ∈ [ a, b ] tal que f( x 1) ≤ f( x) para todo x ∈ [ a, b ]. Para ello, basta aplicar la primera parte de la demostración a la función −f. Q. E. D.
Nota. De nuevo, el teorema anterior puede fallar si f es discontinua en algún punto de [ a, b ] o si f es continua en un intervalo no compacto. Por ejemplo, la función x ↦→ 1 / x es continua y acotada en el intervalo cerrado [ 1, ∞). Sin embargo, f no alcanza su mínimo en dicho intervalo.
3.4. Funciones monótonas y continuidad
En esta sección, J denotará un intervalo arbitrario( acotado ó no). Obsérvese que los intervalos( de cualquier tipo) se caracterizan por la siguiente propiedad: J ⊂ R es un intervalo si y sólo si
x, y ∈ J = ⇒ [ x, y ] ⊂ J.