CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 57
ejemplo , la función anterior es continua pero no está acotada en el intervalo acotado ( 0, 1 ), y la función identidad es continua pero tampoco está acotada en el intervalo cerrado [ 0 , ∞ ).
3.3.4 . Existencia de máximo y mínimo
El siguiente teorema , que es un refinamiento del anterior , afirma la existencia de un máximo y un mínimo de im f si f es una función continua en un intervalo compacto [ a , b ]:
Teorema 3.22 . Si f es una función continua en [ a , b ] ( con a < b ), entonces existen x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] tales que
f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ), ∀x ∈ [ a , b ].
En otras palabras , una función continua en un intervalo compacto alcanza su máximo y su mínimo en dicho intervalo .
Demostración . Probemos , en primer lugar , que existe x 2 ∈ [ a , b ] tal que f ( x ) ≤ f ( x 2 ) para todo x ∈ [ a , b ]. En efecto , consideremos el conjunto
A = f ([ a , b ]) = { f ( x ) : x ∈ [ a , b ]} .
Dicho conjunto es obviamente no vacío , y está acotado superiormente por el teorema anterior . Por tanto , existirá z = sup A ; basta probar que z ∈ A , es decir que z = f ( x 2 ) para algún x 2 ∈ [ a , b ]. Supongamos que esto no fuera cierto . Entonces la función g = 1 z−f sería continua en [ a , b ], ya que el denominador no se anularía para ningún x ∈ [ a , b ]. Como z = supA y z ∈/ A por hipótesis , dado ɛ > 0 existe y ∈ A tal que y ∈ ( z − ɛ , z ), es decir existe x ∈ [ a , b ] tal que z − ɛ < f ( x ) < z . Esto implica que para todo ɛ > 0 existe x ∈ [ a , b ] tal que g ( x ) > 1 / ɛ . En otras palabras , g no está acotada superiormente en [ a , b ], lo que contradice el teorema anterior .
Resta sólo probar la existencia de algún x 1 ∈ [ a , b ] tal que f ( x 1 ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ [ a , b ]. Para ello , basta aplicar la primera parte de la demostración a la función −f . Q . E . D .
Nota . De nuevo , el teorema anterior puede fallar si f es discontinua en algún punto de [ a , b ] o si f es continua en un intervalo no compacto . Por ejemplo , la función x ↦→ 1 / x es continua y acotada en el intervalo cerrado [ 1 , ∞ ). Sin embargo , f no alcanza su mínimo en dicho intervalo .
3.4 . Funciones monótonas y continuidad
En esta sección , J denotará un intervalo arbitrario ( acotado ó no ). Obsérvese que los intervalos ( de cualquier tipo ) se caracterizan por la siguiente propiedad : J ⊂ R es un intervalo si y sólo si
x , y ∈ J = ⇒ [ x , y ] ⊂ J .