CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 56
3.3.3 . Teorema de acotación
En esta sección probaremos la siguiente propiedad fundamental de las funciones continuas : una función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada en dicho intervalo .
Teorema 3.21 . Si f : R → R es continua en [ a , b ] ( con a < b ), entonces f está acotada en [ a , b ].
Demostración . Hay que probar que existe M > 0 tal que | f ( x )| < M para todo x ∈ [ a , b ]. Para ello , consideramos el conjunto
A = { x ∈ [ a , b ] : f acotada en [ a , x ]} .
A es no vacío , ya que a ∈ A , y A ≤ b . Por tanto , existe z = supA . Veamos , en primer lugar , que z ≠ a . En efecto , al existir lím x→a + f ( x ) = f ( a ), por la Proposición 3.10 existe δ > 0 suficientemente pequeño tal que f está acotada en el intervalo [ a , a + δ ). Por tanto , [ a , a + δ ) ⊂ A , por lo que z = supA ≥ a + δ 2 > a .
Probemos a continuación que z = b . En efecto , si z < b entonces f continua en z ∈ ( a , b ) implica ( de nuevo por la Proposición 3.10 ) que existe δ > 0 tal que f está acotada en el intervalo ( z − δ , z + δ ) ⊂ ( a , b ). En otras palabras , existe N 1 > 0 tal que
| f ( x )| < N 1 , ∀x ∈ ( z − δ , z + δ ).
Como z = supA , tiene que haber algún t ∈ A en el intervalo ( z − δ , z ] ( pues , de lo contrario , los elementos de ( z − δ , z ) serían cotas superiores de A menores que z = supA ). Entonces f está acotada en [ a , t ], es decir existe N 2 > 0 tal que
| f ( x )| < N 2 , ∀x ∈ [ a , t ].
Por tanto , f está acotada superiormente ( por máx ( N 1 , N 2 ) > 0 ) en el intervalo [ a , z + δ ]
2 . Pero esto implica que z = supA < z + δ 2
∈ A , lo cual es absurdo . Por tanto , ha de ser z = sup A = b .
Sólo queda probar que b ∈ A , es decir que f está acotada en [ a , b ]. Para ello , aplicamos una vez más la Proposición 3.10 , obteniendo la existencia de δ > 0 suficientemente pequeño tal que f está acotada en ( b − δ , b ]. Como b = supA , de nuevo debe existir y ∈ A ∩ ( b − δ , b ]. Igual que antes , al estar f acotada en [ a , y ] y en ( b − δ , b ] ∋ y se sigue que f está acotada en [ a , b ]. Q . E . D .
Nota . Una vez más , basta con que haya un sólo punto de [ a , b ] en que f sea discontinua para que el resultado anterior pueda ser falso . Por ejemplo , considérese la función f : R → R dada por f ( 0 ) = 0 y f ( x ) = 1 / x , para todo x ≠ 0 , en el intervalo [ −1,1 ]. También es fundamental que el intervalo en que f es continua sea compacto , es decir cerrado y acotado a la vez . Por