CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 56
3.3.3. Teorema de acotación
En esta sección probaremos la siguiente propiedad fundamental de las funciones continuas: una función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada en dicho intervalo.
Teorema 3.21. Si f: R → R es continua en [ a, b ]( con a < b), entonces f está acotada en [ a, b ].
Demostración. Hay que probar que existe M > 0 tal que | f( x)| < M para todo x ∈ [ a, b ]. Para ello, consideramos el conjunto
A = { x ∈ [ a, b ]: f acotada en [ a, x ]}.
A es no vacío, ya que a ∈ A, y A ≤ b. Por tanto, existe z = supA. Veamos, en primer lugar, que z ≠ a. En efecto, al existir lím x→a + f( x) = f( a), por la Proposición 3.10 existe δ > 0 suficientemente pequeño tal que f está acotada en el intervalo [ a, a + δ). Por tanto, [ a, a + δ) ⊂ A, por lo que z = supA ≥ a + δ 2 > a.
Probemos a continuación que z = b. En efecto, si z < b entonces f continua en z ∈( a, b) implica( de nuevo por la Proposición 3.10) que existe δ > 0 tal que f está acotada en el intervalo( z − δ, z + δ) ⊂( a, b). En otras palabras, existe N 1 > 0 tal que
| f( x)| < N 1, ∀x ∈( z − δ, z + δ).
Como z = supA, tiene que haber algún t ∈ A en el intervalo( z − δ, z ]( pues, de lo contrario, los elementos de( z − δ, z) serían cotas superiores de A menores que z = supA). Entonces f está acotada en [ a, t ], es decir existe N 2 > 0 tal que
| f( x)| < N 2, ∀x ∈ [ a, t ].
Por tanto, f está acotada superiormente( por máx( N 1, N 2) > 0) en el intervalo [ a, z + δ ]
2. Pero esto implica que z = supA < z + δ 2
∈ A, lo cual es absurdo. Por tanto, ha de ser z = sup A = b.
Sólo queda probar que b ∈ A, es decir que f está acotada en [ a, b ]. Para ello, aplicamos una vez más la Proposición 3.10, obteniendo la existencia de δ > 0 suficientemente pequeño tal que f está acotada en( b − δ, b ]. Como b = supA, de nuevo debe existir y ∈ A ∩( b − δ, b ]. Igual que antes, al estar f acotada en [ a, y ] y en( b − δ, b ] ∋ y se sigue que f está acotada en [ a, b ]. Q. E. D.
Nota. Una vez más, basta con que haya un sólo punto de [ a, b ] en que f sea discontinua para que el resultado anterior pueda ser falso. Por ejemplo, considérese la función f: R → R dada por f( 0) = 0 y f( x) = 1 / x, para todo x ≠ 0, en el intervalo [ −1,1 ]. También es fundamental que el intervalo en que f es continua sea compacto, es decir cerrado y acotado a la vez. Por