CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 55
Por el axioma del supremo , existe z = supA ; probaremos a continuación que f ( z ) = 0 .
En primer lugar , es fácil ver que z ∈ ( a , b ). En efecto , como f ( a ) < 0 y f es continua por la derecha en a , f es negativa en un intervalo de la forma [ a , a + δ ) para δ > 0 suficientemente pequeño ( teorema de conservación del signo ), por lo que z = supA ≥ a + δ 2
> a . Análogamente , al ser f continua por la izquierda en b y f ( b ) > 0 , f es positiva un intervalo de la forma ( b − δ , b ] con δ > 0 , y por tanto A ≤ b − δ 2 implica supA ≤ b − δ 2 < b .
Probemos ahora que f ( z ) = 0 . En efecto , supongamos que fuera f ( z ) ≠ 0 . Como f es continua en z ∈ ( a , b ), por el teorema de conservación del signo existe δ > 0 tal que f tiene el mismo signo en todos los puntos del intervalo ( z − δ , z + δ ) ⊂ ( a , b ). Si fuera f ( z ) < 0 , entonces los puntos del intervalo ( z , z + δ ) estarían todos en A , y por tanto z no sería una cota superior de A . Y si fuera f ( z ) > 0 , los puntos del intervalo ( z − δ , z ) serían cotas superiores de A ( ya que A ≤ z y z ∈/ A ). La única posibilidad es por tanto que f ( z ) = 0 . Q . E . D .
Nota . El resultado es falso en general si f deja de ser continua incluso en un sólo punto de [ a , b ]. Por ejemplo , considérese la función escalón θ : R → R , definida por θ ( x ) = −1 si x ≤ 0 y θ ( x ) = 1 para todo x > 0 , en el intervalo [ −1,1 ].
3.3.2 . Teorema de los valores intermedios
El teorema de Bolzano tiene como consecuencia el siguiente resultado , conocido como teorema de los valores intermedios :
Teorema de los valores intermedios . Si f : R → R es continua en [ a , b ] ( con a < b ) y f ( a ) < c < f ( b ), entonces existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) = c . Un resultado análogo es válido si f ( b ) < c < f ( a ).
En otras palabras , si f es continua en [ a , b ] entonces f toma todos los valores entre f ( a ) y f ( b ).
Demostración . Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g = f − c , que sigue siendo continua en [ a , b ] y cumple g ( a ) = f ( a ) − c < 0 , g ( b ) = f ( b ) − c > 0 . Existe entonces x ∈ ( a , b ) tal que g ( x ) = f ( x ) − c = 0 . Para probar la segunda afirmación , basta aplicar lo anterior a la función −f . Q . E . D .
Nota . De nuevo , el resultado no es cierto en general si f tiene algún punto de discontinuidad en [ a , b ]. Por ejemplo , considérese la función parte entera en el intervalo [ 0,1 ].