CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 55
Por el axioma del supremo, existe z = supA; probaremos a continuación que f( z) = 0.
En primer lugar, es fácil ver que z ∈( a, b). En efecto, como f( a) < 0 y f es continua por la derecha en a, f es negativa en un intervalo de la forma [ a, a + δ) para δ > 0 suficientemente pequeño( teorema de conservación del signo), por lo que z = supA ≥ a + δ 2
> a. Análogamente, al ser f continua por la izquierda en b y f( b) > 0, f es positiva un intervalo de la forma( b − δ, b ] con δ > 0, y por tanto A ≤ b − δ 2 implica supA ≤ b − δ 2 < b.
Probemos ahora que f( z) = 0. En efecto, supongamos que fuera f( z) ≠ 0. Como f es continua en z ∈( a, b), por el teorema de conservación del signo existe δ > 0 tal que f tiene el mismo signo en todos los puntos del intervalo( z − δ, z + δ) ⊂( a, b). Si fuera f( z) < 0, entonces los puntos del intervalo( z, z + δ) estarían todos en A, y por tanto z no sería una cota superior de A. Y si fuera f( z) > 0, los puntos del intervalo( z − δ, z) serían cotas superiores de A( ya que A ≤ z y z ∈/ A). La única posibilidad es por tanto que f( z) = 0. Q. E. D.
Nota. El resultado es falso en general si f deja de ser continua incluso en un sólo punto de [ a, b ]. Por ejemplo, considérese la función escalón θ: R → R, definida por θ( x) = −1 si x ≤ 0 y θ( x) = 1 para todo x > 0, en el intervalo [ −1,1 ].
3.3.2. Teorema de los valores intermedios
El teorema de Bolzano tiene como consecuencia el siguiente resultado, conocido como teorema de los valores intermedios:
Teorema de los valores intermedios. Si f: R → R es continua en [ a, b ]( con a < b) y f( a) < c < f( b), entonces existe x ∈( a, b) tal que f( x) = c. Un resultado análogo es válido si f( b) < c < f( a).
En otras palabras, si f es continua en [ a, b ] entonces f toma todos los valores entre f( a) y f( b).
Demostración. Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g = f − c, que sigue siendo continua en [ a, b ] y cumple g( a) = f( a) − c < 0, g( b) = f( b) − c > 0. Existe entonces x ∈( a, b) tal que g( x) = f( x) − c = 0. Para probar la segunda afirmación, basta aplicar lo anterior a la función −f. Q. E. D.
Nota. De nuevo, el resultado no es cierto en general si f tiene algún punto de discontinuidad en [ a, b ]. Por ejemplo, considérese la función parte entera en el intervalo [ 0,1 ].