CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 54
La función f: R → R definida por {
1 f( x) = x, x ≠ 0 b, x = 0
no es continua en [ −1,1 ], ya que no es continua en 0( cualquiera que sea b ∈ R).
3.3. Teoremas fundamentales
La Proposición 3.11 y su Corolario 3.12 proporcionan inmediatamente la siguiente propiedad importante de las funciones continuas, que utilizaremos a menudo:
Teorema de conservación del signo. Si f: R → R es continua en a y f( a) > 0, entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
f( x) > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ).
En particular, f es positiva en dom f ∩( a − δ, a + δ). Un resultado análogo es válido si f( a) < 0.
Este resultado es válido también cuando f es continua por la derecha ó por la izquierda en a y f( a) ≠ 0. Por ejemplo, si f es continua por la derecha en a y f( a) > 0 entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
3.3.1. Teorema de Bolzano
f( x) > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩ [ a, a + δ).
Vamos a ver a continuación varios teoremas que encierran propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos. El primero de ellos es una sencilla consecuencia del teorema de conservación del signo:
Teorema de Bolzano. Si f es continua en [ a, b ]( con a < b) y f( a) f( b) < 0, entonces existe x ∈( a, b) tal que f( x) = 0.
Demostración. La hipótesis del teorema afirma que f( a) y f( b) son distintos de cero y tienen signos opuestos. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad(¿ por qué?), que f( a) < 0 y f( b) > 0. La idea de la demostración es muy sencilla: si definimos el conjunto A mediante
A = { t ∈ [ a, b ]: f( t) < 0 },
intuitivamente el supremo de este conjunto es el mayor número x ∈ [ a, b ] tal que f( x) = 0. Para probar esto rigurosamente, observamos en primer lugar que a ∈ A por ser f( a) < 0, luego A ≠ ∅. Además, por construcción A ≤ b.