CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 54
La función f : R → R definida por {
1 f ( x ) = x , x ≠ 0 b , x = 0
no es continua en [ −1,1 ], ya que no es continua en 0 ( cualquiera que sea b ∈ R ).
3.3 . Teoremas fundamentales
La Proposición 3.11 y su Corolario 3.12 proporcionan inmediatamente la siguiente propiedad importante de las funciones continuas , que utilizaremos a menudo :
Teorema de conservación del signo . Si f : R → R es continua en a y f ( a ) > 0 , entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
f ( x ) > c > 0 , ∀x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ).
En particular , f es positiva en dom f ∩ ( a − δ , a + δ ). Un resultado análogo es válido si f ( a ) < 0 .
Este resultado es válido también cuando f es continua por la derecha ó por la izquierda en a y f ( a ) ≠ 0 . Por ejemplo , si f es continua por la derecha en a y f ( a ) > 0 entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que
3.3.1 . Teorema de Bolzano
f ( x ) > c > 0 , ∀x ∈ dom f ∩ [ a , a + δ ).
Vamos a ver a continuación varios teoremas que encierran propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos . El primero de ellos es una sencilla consecuencia del teorema de conservación del signo :
Teorema de Bolzano . Si f es continua en [ a , b ] ( con a < b ) y f ( a ) f ( b ) < 0 , entonces existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) = 0 .
Demostración . La hipótesis del teorema afirma que f ( a ) y f ( b ) son distintos de cero y tienen signos opuestos . Podemos suponer , sin pérdida de generalidad (¿ por qué ?), que f ( a ) < 0 y f ( b ) > 0 . La idea de la demostración es muy sencilla : si definimos el conjunto A mediante
A = { t ∈ [ a , b ] : f ( t ) < 0 } ,
intuitivamente el supremo de este conjunto es el mayor número x ∈ [ a , b ] tal que f ( x ) = 0 . Para probar esto rigurosamente , observamos en primer lugar que a ∈ A por ser f ( a ) < 0 , luego A ≠ ∅ . Además , por construcción A ≤ b .