CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 53
3.2.2 . Continuidad en intervalos
La continuidad de una función proporciona consecuencias importantes y profundas cuando se cumple no en un punto aislado sino en todos los puntos de un intervalo .
Definición 3.19 . Una función f : R → R es continua por la derecha en a ∈ R si lím x→a + f ( x ) = f ( a ). Análogamente , diremos que f es continua por la izquierda en a si lím x→a− f ( x ) = f ( a ).
Equivalentemente , f es continua por la derecha ( resp . por la izquierda ) en a si la restricción de f al intervalo [ a , ∞ ) ( resp . ( −∞ , a ]) es continua en a .
La función raíz cuadrada es continua por la derecha pero no por la izquierda en 0 . En efecto , recuérdese que no existe lím x→0−
√ x .
En general , si f es continua en a y a es punto de acumulación de dom f ∩ [ a , ∞ ) y de dom f ∩ ( −∞ , a ] entonces f es continua por la derecha y por la izquierda en a . Recíprocamente , si f es continua por la derecha y por la izquierda en a entonces f es continua en a .
La función x ↦→ [ x ] es continua por la derecha , pero no por la izquierda , en todos los puntos de Z .
La función sig no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en 0 .
Definición 3.20 . Una función f : R → R es continua en un intervalo cerrado [ a , b ] ( siendo a < b números reales ) si f es continua en x para todo x ∈ ( a , b ), es continua por la derecha en a y es continua por la izquierda en b .
Equivalentemente , f es continua en [ a , b ] si la restricción de f al intervalo [ a , b ] es continua en x para todo x ∈ [ a , b ].
En general , diremos que f es continua en un intervalo cualquiera cuando f es continua en el correspondiente intervalo abierto , y es continua por la derecha en el extremo inferior del intervalo y continua por la izquierda en el extremo superior , si alguno de estos extremos pertenece al intervalo .
Por ejemplo , la función parte entera es continua en los intervalos [ 0,1 / 2 ] y [ 0,1 ), y no lo es en el intervalo [ 0,1 ] ( al no ser continua por la izquierda en 1 ).