CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 53
3.2.2. Continuidad en intervalos
La continuidad de una función proporciona consecuencias importantes y profundas cuando se cumple no en un punto aislado sino en todos los puntos de un intervalo.
Definición 3.19. Una función f: R → R es continua por la derecha en a ∈ R si lím x→a + f( x) = f( a). Análogamente, diremos que f es continua por la izquierda en a si lím x→a− f( x) = f( a).
Equivalentemente, f es continua por la derecha( resp. por la izquierda) en a si la restricción de f al intervalo [ a, ∞)( resp.( −∞, a ]) es continua en a.
La función raíz cuadrada es continua por la derecha pero no por la izquierda en 0. En efecto, recuérdese que no existe lím x→0−
√ x.
En general, si f es continua en a y a es punto de acumulación de dom f ∩ [ a, ∞) y de dom f ∩( −∞, a ] entonces f es continua por la derecha y por la izquierda en a. Recíprocamente, si f es continua por la derecha y por la izquierda en a entonces f es continua en a.
La función x ↦→ [ x ] es continua por la derecha, pero no por la izquierda, en todos los puntos de Z.
La función sig no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en 0.
Definición 3.20. Una función f: R → R es continua en un intervalo cerrado [ a, b ]( siendo a < b números reales) si f es continua en x para todo x ∈( a, b), es continua por la derecha en a y es continua por la izquierda en b.
Equivalentemente, f es continua en [ a, b ] si la restricción de f al intervalo [ a, b ] es continua en x para todo x ∈ [ a, b ].
En general, diremos que f es continua en un intervalo cualquiera cuando f es continua en el correspondiente intervalo abierto, y es continua por la derecha en el extremo inferior del intervalo y continua por la izquierda en el extremo superior, si alguno de estos extremos pertenece al intervalo.
Por ejemplo, la función parte entera es continua en los intervalos [ 0,1 / 2 ] y [ 0,1), y no lo es en el intervalo [ 0,1 ]( al no ser continua por la izquierda en 1).