CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 52
0 ≤ | senx − 0 | = | sen x | ≤ | x | ,
y basta aplicar el Corolario 3.14 . La continuidad de la función cos en 0 se sigue observando que
0 ≤ | cos x − 1 | = 2sen 2 x 2 ≤ x2 2
y aplicando de nuevo el Corolario 3.14 . De lo anterior se deduce la continuidad de sen en a ∈ R arbitrario , ya que
sen ( a + h ) = sen acos h + cos asen h −−−→ h→0 sen a · 1 + cos a · 0 = sen a
por las propiedades de los límites . La continuidad de la función cos en cualquier punto se deduce de la fórmula cos = sen ◦f , siendo f ( x ) = π 2 − x una función continua en todo punto ( es un polinomio ). Del teorema 3.17 se sigue que las funciones tan , cot , sec y cosec son continuas en todo punto de sus dominios .
Ejercicio . Probar que la función log a ( a > 0 ) es continua en todo punto de su dominio ( 0 , ∞ ).
Solución . Como log 1 / a = − log a , podemos tomar sin pérdida de generalidad a > 1 . Veamos , en primer lugar , que si a > 1 entonces log a es continua en 1 . Hay que probar que , dado ɛ > 0 , podemos encontrar δ > 0 tal que
1 − δ < x < 1 + δ = ⇒ −ɛ < log a x < ɛ ( 3.7 )
( tomamos también δ ≤ 1 para que ( 1−δ , 1 + δ ) ⊂ dom log a ). Esta última desigualdad es equivalente ( al ser la función x ↦→ a x inversa de log a monótona creciente ) a la desigualdad
1 h < x < h , si h = aɛ > 0 .
Como a > 1 y ɛ > 0 , 0 < 1 / h < 1 < h ; por tanto , tomando δ = mín ( h − 1,1 − 1 ) h > 0 obtenemos ( 3 . 7 ). Para probar la continuidad de log a en un punto cualquiera x > 0 , observamos que [ ( log a ( x + h ) = log a x 1 + h )] ( = log x a x + log a 1 + h )
. x
Si h → 0 , el primer término tiende a log a x ( como función de h es constante ) y el segundo tiende a log
( a 1 = ) 0 . Para probar esto último , basta observar que la función h ↦→ log a 1 + h x es la composición de la función loga con la función polinómica h ↦→ 1 + h x
, continuas en 0 y 1 , respectivamente .