CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 52
0 ≤ | senx − 0 | = | sen x | ≤ | x |,
y basta aplicar el Corolario 3.14. La continuidad de la función cos en 0 se sigue observando que
0 ≤ | cos x − 1 | = 2sen 2 x 2 ≤ x2 2
y aplicando de nuevo el Corolario 3.14. De lo anterior se deduce la continuidad de sen en a ∈ R arbitrario, ya que
sen( a + h) = sen acos h + cos asen h −−−→ h→0 sen a · 1 + cos a · 0 = sen a
por las propiedades de los límites. La continuidad de la función cos en cualquier punto se deduce de la fórmula cos = sen ◦f, siendo f( x) = π 2 − x una función continua en todo punto( es un polinomio). Del teorema 3.17 se sigue que las funciones tan, cot, sec y cosec son continuas en todo punto de sus dominios.
Ejercicio. Probar que la función log a( a > 0) es continua en todo punto de su dominio( 0, ∞).
Solución. Como log 1 / a = − log a, podemos tomar sin pérdida de generalidad a > 1. Veamos, en primer lugar, que si a > 1 entonces log a es continua en 1. Hay que probar que, dado ɛ > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que
1 − δ < x < 1 + δ = ⇒ −ɛ < log a x < ɛ( 3.7)
( tomamos también δ ≤ 1 para que( 1−δ, 1 + δ) ⊂ dom log a). Esta última desigualdad es equivalente( al ser la función x ↦→ a x inversa de log a monótona creciente) a la desigualdad
1 h < x < h, si h = aɛ > 0.
Como a > 1 y ɛ > 0, 0 < 1 / h < 1 < h; por tanto, tomando δ = mín( h − 1,1 − 1) h > 0 obtenemos( 3. 7). Para probar la continuidad de log a en un punto cualquiera x > 0, observamos que [( log a( x + h) = log a x 1 + h)]( = log x a x + log a 1 + h)
. x
Si h → 0, el primer término tiende a log a x( como función de h es constante) y el segundo tiende a log
( a 1 =) 0. Para probar esto último, basta observar que la función h ↦→ log a 1 + h x es la composición de la función loga con la función polinómica h ↦→ 1 + h x
, continuas en 0 y 1, respectivamente.