CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 51
P
O A
Q
Figura 3.3: si el arco AP mide x, entonces PQ = 2sen x < PAQ = 2x.
Demostración. En primer lugar, img ⊂ dom f implica que dom( f ◦g) = dom g; en particular, a ∈ dom( f ◦g) y a es un punto de acumulación de dom( f ◦g). Hay que probar que, dado un ɛ > 0 cualquiera, es posible encontrar un δ > 0 tal que
x ∈ dom( f ◦g) y | x − a | < δ = ⇒()() ∣ f g( x) − f g( a) ∣ < ɛ.( 3. 4) Al ser f continua en g( a), existe δ 1 > 0 tal que y ∈ dom f y | y − g( a)| < δ 1 = ⇒ ∣ ∣f( y) − f( g( a)) ∣ < ɛ.( 3.5) Utilizando ahora la continuidad de g en a, podemos escoger δ > 0 tal que x ∈ dom g y | x − a | < δ = ⇒ | g( x) − g( a)| < δ 1.( 3.6)
Si x ∈ dom( f ◦g) = dom g y | x − a | < δ entonces y = g( x) cumple y ∈ domf y | y − g( a)| < δ 1 por( 3.6), de donde, sustituyendo y = g( x) en( 3.5), se obtiene( 3.4). Q. E. D.
Ejemplo 3.18. En este ejemplo probaremos que las funciones trigonométricas son continuas en cualquier punto de su dominio. Nuestra discusión se basará en la desigualdad elemental( véase la fig. 3.3)
Si h < 0, entonces
Por tanto
0 ≤ | sen h | < h, ∀h > 0.
0 ≤ | sen( −h)| = | − sen h | = | sen h | < −h = | h |.
0 ≤ | sen h | < | h |, ∀h ≠ 0
( para h = 0, las desigualdades anteriores se convierten obviamente en igualdades). Empecemos por probar la continuidad de sen en 0. En efecto,