CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 51
P
O A
Q
Figura 3.3 : si el arco AP mide x , entonces PQ = 2sen x < PAQ = 2x .
Demostración . En primer lugar , img ⊂ dom f implica que dom ( f ◦g ) = dom g ; en particular , a ∈ dom ( f ◦g ) y a es un punto de acumulación de dom ( f ◦g ). Hay que probar que , dado un ɛ > 0 cualquiera , es posible encontrar un δ > 0 tal que
x ∈ dom ( f ◦g ) y | x − a | < δ = ⇒ ( ) ( ) ∣ f g ( x ) − f g ( a ) ∣ < ɛ . ( 3 . 4 ) Al ser f continua en g ( a ), existe δ 1 > 0 tal que y ∈ dom f y | y − g ( a )| < δ 1 = ⇒ ∣ ∣f ( y ) − f ( g ( a ) ) ∣ < ɛ . ( 3.5 ) Utilizando ahora la continuidad de g en a , podemos escoger δ > 0 tal que x ∈ dom g y | x − a | < δ = ⇒ | g ( x ) − g ( a )| < δ 1 . ( 3.6 )
Si x ∈ dom ( f ◦g ) = dom g y | x − a | < δ entonces y = g ( x ) cumple y ∈ domf y | y − g ( a )| < δ 1 por ( 3.6 ), de donde , sustituyendo y = g ( x ) en ( 3.5 ), se obtiene ( 3.4 ). Q . E . D .
Ejemplo 3.18 . En este ejemplo probaremos que las funciones trigonométricas son continuas en cualquier punto de su dominio . Nuestra discusión se basará en la desigualdad elemental ( véase la fig . 3.3 )
Si h < 0 , entonces
Por tanto
0 ≤ | sen h | < h , ∀h > 0 .
0 ≤ | sen ( −h )| = | − sen h | = | sen h | < −h = | h | .
0 ≤ | sen h | < | h | , ∀h ≠ 0
( para h = 0 , las desigualdades anteriores se convierten obviamente en igualdades ). Empecemos por probar la continuidad de sen en 0 . En efecto ,