CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 50
Para que f sea continua en a han de cumplirse por tanto las siguientes condiciones:
i) f está definida en a, es decir a ∈ domf.
ii) Existe lím x→a f( x). En particular, obsérvese que a ha de ser punto de acumulación de dom f.
iii) lím x→a f( x) coincide con f( a).
Si alguna de las condiciones anteriores falla( por ejemplo, si a / ∈ dom f) entonces f es discontinua en a.
La definición de continuidad de f: R → R en a se puede expresar de la forma siguiente:
∀ɛ > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ dom f y | x − a | < δ = ⇒ | f( x) − f( a)| < ɛ.
Las funciones constantes, la función identidad y la función cuadrado( x ↦→ x 2) son continuas en todo punto a ∈ R.
La función raíz cuadrada( x ↦→ √ x) es continua en todos los puntos de su dominio [ 0, ∞).
Las funciones sig y x ↦→ sen( 1 / x) no son continuas en x = 0( en ambos casos no existe lím x→0 f( x), mientras que para la segunda de estas funciones 0 ni siquiera pertenece a dom f).
Ejercicio. Probar que f es continua en a si y sólo si lím h→0 f( a + h) = f( a).
El Teorema 3.1.3 acerca de las propiedades de los límites proporciona inmediatamente el siguiente importante resultado:
Teorema 3.16. Si f, g: R → R son funciones continuas en a ∈ R, y a es punto de acumulación de dom f ∩ dom g( por ejemplo, esto ocurrirá automáticamente si f y g tienen el mismo dominio), entonces f ± g y f g son continuas en a. Si, además, g( a) ≠ 0, entonces f / g es continua en a.
El teorema anterior nos permite probar fácilmente la continuidad de multitud de funciones. Por ejemplo, de la continuidad de las funciones constantes y de la función identidad en cualquier punto se sigue que los polinomios son funciones continuas en todo R. A su vez, esto implica que si P y Q son polinomios y Q ≠ 0 la función racional P / Q es continua en todo punto de su dominio( es decir, en todo punto a tal que Q( a) ≠ 0).
Otra propiedad importante de la continuidad es su buen comportamiento bajo la operación de composición:
Teorema 3.17. Sean f, g: R → R funciones tales que im g ⊂ dom f. Si g es continua en a y f es continua en g( a), entonces f ◦g es continua en a.