CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 50
Para que f sea continua en a han de cumplirse por tanto las siguientes condiciones :
i ) f está definida en a , es decir a ∈ domf .
ii ) Existe lím x→a f ( x ). En particular , obsérvese que a ha de ser punto de acumulación de dom f .
iii ) lím x→a f ( x ) coincide con f ( a ).
Si alguna de las condiciones anteriores falla ( por ejemplo , si a / ∈ dom f ) entonces f es discontinua en a .
La definición de continuidad de f : R → R en a se puede expresar de la forma siguiente :
∀ɛ > 0 , ∃δ > 0 tal que x ∈ dom f y | x − a | < δ = ⇒ | f ( x ) − f ( a )| < ɛ .
Las funciones constantes , la función identidad y la función cuadrado ( x ↦→ x 2 ) son continuas en todo punto a ∈ R .
La función raíz cuadrada ( x ↦→ √ x ) es continua en todos los puntos de su dominio [ 0 , ∞ ).
Las funciones sig y x ↦→ sen ( 1 / x ) no son continuas en x = 0 ( en ambos casos no existe lím x→0 f ( x ), mientras que para la segunda de estas funciones 0 ni siquiera pertenece a dom f ).
Ejercicio . Probar que f es continua en a si y sólo si lím h→0 f ( a + h ) = f ( a ).
El Teorema 3.1.3 acerca de las propiedades de los límites proporciona inmediatamente el siguiente importante resultado :
Teorema 3.16 . Si f , g : R → R son funciones continuas en a ∈ R , y a es punto de acumulación de dom f ∩ dom g ( por ejemplo , esto ocurrirá automáticamente si f y g tienen el mismo dominio ), entonces f ± g y f g son continuas en a . Si , además , g ( a ) ≠ 0 , entonces f / g es continua en a .
El teorema anterior nos permite probar fácilmente la continuidad de multitud de funciones . Por ejemplo , de la continuidad de las funciones constantes y de la función identidad en cualquier punto se sigue que los polinomios son funciones continuas en todo R . A su vez , esto implica que si P y Q son polinomios y Q ≠ 0 la función racional P / Q es continua en todo punto de su dominio ( es decir , en todo punto a tal que Q ( a ) ≠ 0 ).
Otra propiedad importante de la continuidad es su buen comportamiento bajo la operación de composición :
Teorema 3.17 . Sean f , g : R → R funciones tales que im g ⊂ dom f . Si g es continua en a y f es continua en g ( a ), entonces f ◦g es continua en a .