CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 49
El siguiente teorema describe el comportamiento de la operación de paso al límite en relación con las operaciones algebraicas entre funciones introducidas en el capítulo anterior:
Teorema( propiedades de los límites). Sean f, g: R → R, y supongamos que existen los límites lím x→a f( x) = l 1 y lím x→a g( x) = l 2. Si a ∈ R es un punto de acumulación de dom f ∩ dom g se cumple:
i) lím x→a
[ f( x) + g( x)] = l 1 + l 2 ii) lím x→a
[ f( x) g( x)] = l 1 l 2 En particular, para todo c ∈ R se tiene
Si, además, l 2 ≠ 0, entonces iii) lím x→a f( x) g( x) = l 1 l 2
. lím cf( x) = cl 1. x→a
Demostración. Demostremos, por ejemplo, la última propiedad. Utilizando la segunda, no se pierde generalidad tomando f = 1. Aplicando la Proposición 3.11 a | g | deducimos que existen δ 1 > 0 y c > 0 tales que
| g( x)| > c > 0, ∀x ∈ dom g ∩( a − δ 1, a + δ 1), x ≠ a.
En particular, esto implica(¿ por qué?) que a es un punto de acumulación de dom 1 g. Además, cualquiera que sea ɛ ′ > 0 existe δ 2 > 0 tal que
| g( x) − l 2 | < ɛ ′, ∀x ∈ dom g ∩( a − δ 2, a + δ 2), x ≠ a. Luego si δ = mín( δ 1, δ 2) y x ≠ a pertenece a dom g ∩( a − δ, a + δ) entonces
1 ∣g( x) − 1 l 2
∣ = | g( x) − l 2 |
< ɛ ′ | l 2 | | g( x)| c | l 2 | ≤ ɛ
si tomamos ɛ ′ ≤ c | l 2 | ɛ. Q. E. D. Ejercicio. Probar que lím x→a f( x) = l = ⇒ lím x→a | f( x)| = | l |.
3.2. Continuidad
3.2.1. Continuidad en un punto
Definición 3.15. Una función f: R → R es continua en a ∈ R si lím f( x) = f( a). x→a