CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 49
El siguiente teorema describe el comportamiento de la operación de paso al límite en relación con las operaciones algebraicas entre funciones introducidas en el capítulo anterior :
Teorema ( propiedades de los límites ). Sean f , g : R → R , y supongamos que existen los límites lím x→a f ( x ) = l 1 y lím x→a g ( x ) = l 2 . Si a ∈ R es un punto de acumulación de dom f ∩ dom g se cumple :
i ) lím x→a
[ f ( x ) + g ( x )] = l 1 + l 2 ii ) lím x→a
[ f ( x ) g ( x )] = l 1 l 2 En particular , para todo c ∈ R se tiene
Si , además , l 2 ≠ 0 , entonces iii ) lím x→a f ( x ) g ( x ) = l 1 l 2
. lím cf ( x ) = cl 1 . x→a
Demostración . Demostremos , por ejemplo , la última propiedad . Utilizando la segunda , no se pierde generalidad tomando f = 1 . Aplicando la Proposición 3.11 a | g | deducimos que existen δ 1 > 0 y c > 0 tales que
| g ( x )| > c > 0 , ∀x ∈ dom g ∩ ( a − δ 1 , a + δ 1 ), x ≠ a .
En particular , esto implica (¿ por qué ?) que a es un punto de acumulación de dom 1 g . Además , cualquiera que sea ɛ ′ > 0 existe δ 2 > 0 tal que
| g ( x ) − l 2 | < ɛ ′ , ∀x ∈ dom g ∩ ( a − δ 2 , a + δ 2 ), x ≠ a . Luego si δ = mín ( δ 1 , δ 2 ) y x ≠ a pertenece a dom g ∩ ( a − δ , a + δ ) entonces
1 ∣g ( x ) − 1 l 2
∣ = | g ( x ) − l 2 |
< ɛ ′ | l 2 | | g ( x )| c | l 2 | ≤ ɛ
si tomamos ɛ ′ ≤ c | l 2 | ɛ . Q . E . D . Ejercicio . Probar que lím x→a f ( x ) = l = ⇒ lím x→a | f ( x )| = | l |.
3.2 . Continuidad
3.2.1 . Continuidad en un punto
Definición 3.15 . Una función f : R → R es continua en a ∈ R si lím f ( x ) = f ( a ). x→a