CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 48
Proposición 3.11 . Si lím x→a f ( x ) = l > 0 , entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que 0 < c < f ( x ) para todo x ≠ a en domf ∩ ( a − δ , a + δ ).
Demostración . De la definición de límite aplicada a ɛ = l / 2 > 0 se deduce la existencia de δ > 0 tal que
− l 2 < f ( x ) − l < l , ∀x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ), x ≠ a . 2
El resultado se cumple por tanto tomando este δ > 0 y c = l / 2 > 0 . Q . E . D .
Si lím x→a f ( x ) = l < 0 , aplicando la proposición anterior a −f se demuestra que existen δ > 0 y c > 0 tales que
f ( x ) < −c < 0 , ∀x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ), x ≠ a . Por tanto , si lím x→a f ( x ) ≠ 0 existen δ > 0 y c > 0 tales que
| f ( x )| > c > 0 , ∀x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ), x ≠ a .
Corolario 3.12 . Análogamente , si lím x→a f ( x ) = l ≠ 0 , entonces hay un δ > 0 tal que el signo de f es constante e igual a sig l en el conjunto ( a − δ , a + δ ) ∩ dom f − { a }.
La siguiente proposición proporciona un método muy útil para probar que una función tiene límite , “ encajándola ” entre dos funciones que tienden al mismo límite :
Proposición 3.13 . Sean f , g 1 , g 2 : R → R funciones tales que para algún h > 0 se cumple
g 1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g 2 ( x ), ∀x ∈ dom f ∩ ( a − h , a + h ), x ≠ a .
Si a es punto de acumulación de dom f y lím x→a g 1 ( x ) = lím x→a g 2 ( x ) = l , entonces lím x→a f ( x ) = l .
Demostración . Dado ɛ > 0 , existen δ 1 > 0 y δ 2 > 0 tales que x ∈ dom g i y 0 < | x − a | < δ i = ⇒ l − ɛ < g i ( x ) < l + ɛ , i = 1,2 .
Tomando δ = mín ( δ 1 , δ 2 , h ) > 0 y teniendo en cuenta que por hipótesis dom f ∩ ( a − h , a + h ) − { a } ⊂ dom g i ∩ ( a − h , a + h ) − { a } ( i = 1,2 ) se obtiene
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ = ⇒ l − ɛ < g 1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g 2 ( x ) < l + ɛ . Q . E . D .
Corolario 3.14 . Si existe h > 0 tal que 0 ≤ | f ( x )| ≤ g ( x ) para todo x ∈ dom g∩ ( a−h , a + h ) con x ≠ a , y lím x→a g ( x ) = 0 , entonces lím x→a f ( x ) = 0 .