CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 48
Proposición 3.11. Si lím x→a f( x) = l > 0, entonces existen δ > 0 y c > 0 tales que 0 < c < f( x) para todo x ≠ a en domf ∩( a − δ, a + δ).
Demostración. De la definición de límite aplicada a ɛ = l / 2 > 0 se deduce la existencia de δ > 0 tal que
− l 2 < f( x) − l < l, ∀x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ), x ≠ a. 2
El resultado se cumple por tanto tomando este δ > 0 y c = l / 2 > 0. Q. E. D.
Si lím x→a f( x) = l < 0, aplicando la proposición anterior a −f se demuestra que existen δ > 0 y c > 0 tales que
f( x) < −c < 0, ∀x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ), x ≠ a. Por tanto, si lím x→a f( x) ≠ 0 existen δ > 0 y c > 0 tales que
| f( x)| > c > 0, ∀x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ), x ≠ a.
Corolario 3.12. Análogamente, si lím x→a f( x) = l ≠ 0, entonces hay un δ > 0 tal que el signo de f es constante e igual a sig l en el conjunto( a − δ, a + δ) ∩ dom f − { a }.
La siguiente proposición proporciona un método muy útil para probar que una función tiene límite,“ encajándola” entre dos funciones que tienden al mismo límite:
Proposición 3.13. Sean f, g 1, g 2: R → R funciones tales que para algún h > 0 se cumple
g 1( x) ≤ f( x) ≤ g 2( x), ∀x ∈ dom f ∩( a − h, a + h), x ≠ a.
Si a es punto de acumulación de dom f y lím x→a g 1( x) = lím x→a g 2( x) = l, entonces lím x→a f( x) = l.
Demostración. Dado ɛ > 0, existen δ 1 > 0 y δ 2 > 0 tales que x ∈ dom g i y 0 < | x − a | < δ i = ⇒ l − ɛ < g i( x) < l + ɛ, i = 1,2.
Tomando δ = mín( δ 1, δ 2, h) > 0 y teniendo en cuenta que por hipótesis dom f ∩( a − h, a + h) − { a } ⊂ dom g i ∩( a − h, a + h) − { a }( i = 1,2) se obtiene
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ = ⇒ l − ɛ < g 1( x) ≤ f( x) ≤ g 2( x) < l + ɛ. Q. E. D.
Corolario 3.14. Si existe h > 0 tal que 0 ≤ | f( x)| ≤ g( x) para todo x ∈ dom g∩( a−h, a + h) con x ≠ a, y lím x→a g( x) = 0, entonces lím x→a f( x) = 0.