CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 47
3.1.3 . Propiedades de los límites
Teorema ( unicidad del límite ). Si existe el límite de una función en un punto , dicho límite es único .
Demostración . Hay que probar que si l 1 = lím x→a f ( x ), l 2 = lím x→a f ( x )
entonces l 1 = l 2 . Supongamos , en efecto , que l 1 ≠ l 2 . Tomando , entonces , ɛ = | l 1 − l 2 |/ 2 > 0 en la definición de límite se deduce que existen dos números positivos δ 1 y δ 2 tales que
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ i = ⇒ | f ( x ) − l i | < ɛ , i = 1,2 .
Si δ = mín ( δ 1 , δ 2 ) > 0 y x ∈ domf es un número cualquiera que cumple 0 < | x − a | < δ entonces
| l 1 − l 2 | ≤ | f ( x ) − l 1 | + | f ( x ) − l 2 | < 2ɛ = | l 1 − l 2 | , lo cual es absurdo . Q . E . D .
Nota . Idéntico resultado es válido para límites laterales ó infinitos , con una demostración análoga .
Probemos , en primer lugar , que si f tiene límite ( finito ) en a ∈ R entonces f está acotada en las proximidades del punto a :
Proposición 3.10 . Si lím x→a f ( x ) existe , entonces f está acotada en algún intervalo de la forma ( a − δ , a + δ ) con δ > 0 .
Demostración . Hay que probar que existen δ > 0 y M > 0 tales que | f ( x )| < M , ∀x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ).
Por la existencia de l = lím x→a f ( x ), existe δ > 0 tal que | f ( x ) − l | < 1 , ∀x ≠ a tal que x ∈ domf ∩ ( a − δ , a + δ ).
Si x ≠ a y x ∈ dom f ∩ ( a − δ , a + δ ), entonces | f ( x )| ≤ | f ( x ) − l | + | l | < 1 + | l |.
Se obtiene por tanto la acotación deseada tomando ( por ejemplo ) M = 1 +| l | si a / ∈ dom f , ó M = máx ( 1 + | l |, 1 + | f ( a )|) > 0 si a ∈ domf . Q . E . D .
Otro resultado importante acerca del límite se refiere al comportamiento del signo de una función que tiende a un límite distinto de cero en un punto . Más precisamente , se verifica el siguiente resultado :