CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 47
3.1.3. Propiedades de los límites
Teorema( unicidad del límite). Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite es único.
Demostración. Hay que probar que si l 1 = lím x→a f( x), l 2 = lím x→a f( x)
entonces l 1 = l 2. Supongamos, en efecto, que l 1 ≠ l 2. Tomando, entonces, ɛ = | l 1 − l 2 |/ 2 > 0 en la definición de límite se deduce que existen dos números positivos δ 1 y δ 2 tales que
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ i = ⇒ | f( x) − l i | < ɛ, i = 1,2.
Si δ = mín( δ 1, δ 2) > 0 y x ∈ domf es un número cualquiera que cumple 0 < | x − a | < δ entonces
| l 1 − l 2 | ≤ | f( x) − l 1 | + | f( x) − l 2 | < 2ɛ = | l 1 − l 2 |, lo cual es absurdo. Q. E. D.
Nota. Idéntico resultado es válido para límites laterales ó infinitos, con una demostración análoga.
Probemos, en primer lugar, que si f tiene límite( finito) en a ∈ R entonces f está acotada en las proximidades del punto a:
Proposición 3.10. Si lím x→a f( x) existe, entonces f está acotada en algún intervalo de la forma( a − δ, a + δ) con δ > 0.
Demostración. Hay que probar que existen δ > 0 y M > 0 tales que | f( x)| < M, ∀x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ).
Por la existencia de l = lím x→a f( x), existe δ > 0 tal que | f( x) − l | < 1, ∀x ≠ a tal que x ∈ domf ∩( a − δ, a + δ).
Si x ≠ a y x ∈ dom f ∩( a − δ, a + δ), entonces | f( x)| ≤ | f( x) − l | + | l | < 1 + | l |.
Se obtiene por tanto la acotación deseada tomando( por ejemplo) M = 1 +| l | si a / ∈ dom f, ó M = máx( 1 + | l |, 1 + | f( a)|) > 0 si a ∈ domf. Q. E. D.
Otro resultado importante acerca del límite se refiere al comportamiento del signo de una función que tiende a un límite distinto de cero en un punto. Más precisamente, se verifica el siguiente resultado: