CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 46
Análogamente, si a ∈ R es un punto de acumulación de( −∞, a) ∩dom f( i. e., todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto x < a perteneciente al dominio de f) diremos que el límite lateral de f( x) cuando x tiende a a por la izquierda es l, y escribiremos
lím f( x) = l, x→a−
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ dom f y a − δ < x < a = ⇒ | f( x) − l | < ɛ.
Por ejemplo, ya hemos visto( Ejercicio 3.1) que no existe lím x→0 sig( x). Sin embargo, es fácil ver que
lím sig( x) = 1, x→0 + lím sig( x) = −1. x→0−
En efecto, basta observar que para x > 0 ó x < 0 f es constante, respectivamente igual a 1 ó −1.
Proposición 3.8. Si los dos límites laterales de f en a existen y son iguales a un número l ∈ R, entonces lím x→a f( x) = l. Recíprocamente, si a es un punto de acumulación de dom f ∩( −∞, a) y de domf ∩( a, ∞), y lím x→a f( x) = l, entonces lím x→a + f( x) = lím x→a− f( x) = l.
Ejemplo 3.9. Aunque lím x→0
√ x = 0( pruébese esto a partir de la definición), no existe lím x→0−
√ x, ya que dom f ∩( −∞, 0) = ∅ en este caso.
Los límites laterales se extienden de forma obvia al caso de límites infinitos. Por ejemplo, lím x→a + f( x) = ∞
si a es punto de acumulación de domf ∩( a, ∞), y para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que
Así, por ejemplo,
x ∈ domf y a < x < a + δ = ⇒ f( x) > M.
1 lím x→0 + x = ∞.
Ejercicio. Si a ∈ R, defínanse los límites lím x→a− f( x) = ∞ y lím x→a ± f( x) = −∞. Pruébese que lím x→0− 1 / x = −∞.