CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 46
Análogamente , si a ∈ R es un punto de acumulación de ( −∞ , a ) ∩dom f ( i . e ., todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto x < a perteneciente al dominio de f ) diremos que el límite lateral de f ( x ) cuando x tiende a a por la izquierda es l , y escribiremos
lím f ( x ) = l , x→a−
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ dom f y a − δ < x < a = ⇒ | f ( x ) − l | < ɛ .
Por ejemplo , ya hemos visto ( Ejercicio 3.1 ) que no existe lím x→0 sig ( x ). Sin embargo , es fácil ver que
lím sig ( x ) = 1 , x→0 + lím sig ( x ) = −1 . x→0−
En efecto , basta observar que para x > 0 ó x < 0 f es constante , respectivamente igual a 1 ó −1 .
Proposición 3.8 . Si los dos límites laterales de f en a existen y son iguales a un número l ∈ R , entonces lím x→a f ( x ) = l . Recíprocamente , si a es un punto de acumulación de dom f ∩ ( −∞ , a ) y de domf ∩ ( a , ∞ ), y lím x→a f ( x ) = l , entonces lím x→a + f ( x ) = lím x→a− f ( x ) = l .
Ejemplo 3.9 . Aunque lím x→0
√ x = 0 ( pruébese esto a partir de la definición ), no existe lím x→0−
√ x , ya que dom f ∩ ( −∞ , 0 ) = ∅ en este caso .
Los límites laterales se extienden de forma obvia al caso de límites infinitos . Por ejemplo , lím x→a + f ( x ) = ∞
si a es punto de acumulación de domf ∩ ( a , ∞ ), y para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que
Así , por ejemplo ,
x ∈ domf y a < x < a + δ = ⇒ f ( x ) > M .
1 lím x→0 + x = ∞ .
Ejercicio . Si a ∈ R , defínanse los límites lím x→a− f ( x ) = ∞ y lím x→a ± f ( x ) = −∞ . Pruébese que lím x→0− 1 / x = −∞ .