CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 45
su vez, esta última desigualdad es equivalente a la desigualdad( 1 / a) x > 1 / ɛ. Por la propiedad arquimediana multiplicativa de los números reales, al ser 1 / a > 1 existe N ∈ N tal que( 1 / a) N > 1 / ɛ, y por ser la función( 1 / a) x monótona creciente se cumple que( 1 / a) x > 1 / ɛ si x > N, es decir
a x < ɛ, ∀x > N.
Luego tomando M = N se cumple la definición para este ɛ > 0, que era arbitrario.
Otra forma de probar este resultado es utilizando que para 0 < a < 1 f a( x) = a x y su inversa log a son monótonas decrecientes en sus respectivos dominios R y( 0, ∞). Por tanto, cualquiera que sea ɛ > 0 se cumplirá la desigualdad a x < ɛ sin más que tomar x > log a ɛ.
De forma análoga se define el límite lím f( x) = ∞.( 3. 3) x→a
En efecto, diremos que( 3.3) se cumple si a es un punto de acumulación de dom f, y para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que
Por ejemplo, es fácil probar que
x ∈ domf y 0 < | x − a | < δ = ⇒ f( x) > M.
lím x→0
1 x 2 = ∞.
Ejercicio. Defínanse los límites lím x→a f( x) = −∞ y lím x→ ± ∞ f( x) = ± ∞, siendo a un número real.
Ejercicio. Probar que si a es un punto de acumulación de dom( 1 / f) entonces
3.1.2. Límites laterales
1 lím f( x) = 0 ⇐⇒ lím x→a x→a | f( x)| = ∞.
Otro tipo de límites que interesa definir son los límites laterales.
Definición 3.7. Sea f: R → R, y sea a ∈ R un punto de acumulación de( a, ∞) ∩ dom f( i. e., todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto x > a perteneciente al dominio de f). Diremos que el límite lateral de f( x) cuando x tiende a a por la derecha es l, y escribiremos
lím f( x) = l, x→a +
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ dom f y a < x < a + δ = ⇒ | f( x) − l | < ɛ.