CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 45
su vez , esta última desigualdad es equivalente a la desigualdad ( 1 / a ) x > 1 / ɛ . Por la propiedad arquimediana multiplicativa de los números reales , al ser 1 / a > 1 existe N ∈ N tal que ( 1 / a ) N > 1 / ɛ , y por ser la función ( 1 / a ) x monótona creciente se cumple que ( 1 / a ) x > 1 / ɛ si x > N , es decir
a x < ɛ , ∀x > N .
Luego tomando M = N se cumple la definición para este ɛ > 0 , que era arbitrario .
Otra forma de probar este resultado es utilizando que para 0 < a < 1 f a ( x ) = a x y su inversa log a son monótonas decrecientes en sus respectivos dominios R y ( 0 , ∞ ). Por tanto , cualquiera que sea ɛ > 0 se cumplirá la desigualdad a x < ɛ sin más que tomar x > log a ɛ .
De forma análoga se define el límite lím f ( x ) = ∞ . ( 3 . 3 ) x→a
En efecto , diremos que ( 3.3 ) se cumple si a es un punto de acumulación de dom f , y para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que
Por ejemplo , es fácil probar que
x ∈ domf y 0 < | x − a | < δ = ⇒ f ( x ) > M .
lím x→0
1 x 2 = ∞ .
Ejercicio . Defínanse los límites lím x→a f ( x ) = −∞ y lím x→ ± ∞ f ( x ) = ± ∞ , siendo a un número real .
Ejercicio . Probar que si a es un punto de acumulación de dom ( 1 / f ) entonces
3.1.2 . Límites laterales
1 lím f ( x ) = 0 ⇐⇒ lím x→a x→a | f ( x )| = ∞ .
Otro tipo de límites que interesa definir son los límites laterales .
Definición 3.7 . Sea f : R → R , y sea a ∈ R un punto de acumulación de ( a , ∞ ) ∩ dom f ( i . e ., todo intervalo J que contiene a a contiene algún punto x > a perteneciente al dominio de f ). Diremos que el límite lateral de f ( x ) cuando x tiende a a por la derecha es l , y escribiremos
lím f ( x ) = l , x→a +
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ dom f y a < x < a + δ = ⇒ | f ( x ) − l | < ɛ .