CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 44
Si tomamos ɛ = 1 / 2, cualquiera que sea δ > 0 podemos hallar un n ∈ N suficientemente grande de modo que
0 < x n < y n < δ. Es imposible, sin embargo, que se cumpla a la vez
| f( x n) − l | < 1 2, | f( y n) − l | < 1 2,( 3. 2)
porque f( x n) −f( y n) = 2 implica que f( x n) y f( y n) no pueden estar ambos en el intervalo de longitud 1( l − 1
2, l + 1)
2. En efecto, si se cumpliera( 3. 2) se tendría 2 = | f( x n) − f( y n)| ≤ | f( x n) − l | + | f( y n) − l | < 1 2 + 1
2 = 1.
Ejercicio. Probar de la misma forma que no existe lím x→0 sig( x). Ejercicio. Probar que lím x→a f( x) = 0 ⇐⇒ lím x→a
| f( x)| = 0.
3.1.1. Límites infinitos
La definición de lím x→a f( x) se generaliza fácilmente al caso de límites infinitos.
Definición 3.5. Sea f: R → R una función, y supongamos que dom f no está acotado superiormente. Diremos que el límite de f( x) cuando x tiende a infinito es l, y escribiremos lím f( x) = l, x→∞
si para todo ɛ > 0 existe M ∈ R tal que
Análogamente,
x ∈ dom f y x > M = ⇒ | f( x) − l | < ɛ.
lím f( x) = l x→−∞
si dom f no está acotado inferiormente, y para todo ɛ > 0 existe M ∈ R tal que x ∈ dom f y x < M = ⇒ | f( x) − l | < ɛ. Ejemplo 3.6. Veamos que
∀0 < a < 1, lím x→∞ ax = 0.
En efecto, aquí domf = R, que no está acotado. Hay que probar que cualquiera que sea ɛ > 0 existe M ∈ R tal que x > M implica | a x | = a x < ɛ. A