CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 44
Si tomamos ɛ = 1 / 2 , cualquiera que sea δ > 0 podemos hallar un n ∈ N suficientemente grande de modo que
0 < x n < y n < δ . Es imposible , sin embargo , que se cumpla a la vez
| f ( x n ) − l | < 1 2 , | f ( y n ) − l | < 1 2 , ( 3 . 2 )
porque f ( x n ) −f ( y n ) = 2 implica que f ( x n ) y f ( y n ) no pueden estar ambos en el intervalo de longitud 1 ( l − 1
2 , l + 1 )
2 . En efecto , si se cumpliera ( 3 . 2 ) se tendría 2 = | f ( x n ) − f ( y n )| ≤ | f ( x n ) − l | + | f ( y n ) − l | < 1 2 + 1
2 = 1 .
Ejercicio . Probar de la misma forma que no existe lím x→0 sig ( x ). Ejercicio . Probar que lím x→a f ( x ) = 0 ⇐⇒ lím x→a
| f ( x )| = 0 .
3.1.1 . Límites infinitos
La definición de lím x→a f ( x ) se generaliza fácilmente al caso de límites infinitos .
Definición 3.5 . Sea f : R → R una función , y supongamos que dom f no está acotado superiormente . Diremos que el límite de f ( x ) cuando x tiende a infinito es l , y escribiremos lím f ( x ) = l , x→∞
si para todo ɛ > 0 existe M ∈ R tal que
Análogamente ,
x ∈ dom f y x > M = ⇒ | f ( x ) − l | < ɛ .
lím f ( x ) = l x→−∞
si dom f no está acotado inferiormente , y para todo ɛ > 0 existe M ∈ R tal que x ∈ dom f y x < M = ⇒ | f ( x ) − l | < ɛ . Ejemplo 3.6 . Veamos que
∀0 < a < 1 , lím x→∞ ax = 0 .
En efecto , aquí domf = R , que no está acotado . Hay que probar que cualquiera que sea ɛ > 0 existe M ∈ R tal que x > M implica | a x | = a x < ɛ . A