CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 43
1
0.5
-1-0.5 0.5 1
-0.5
-1 Figura 3.2: gráfica de la función sen 1 x
Nota. No hace falta conseguir el valor óptimo( es decir mayor) de δ para el cual | f( x) − l | < ɛ si 0 < | x − a | < δ y x ∈ dom f. Por ejemplo, en este caso el mayor δ para el que se cumple( 3.1) es δ = √ ɛ + a 2 − | a |.
Ejemplo 3.4. Veamos que no existe lím x→0 sen 1 x. Esto significa que cualquiera que sea el número l ∈ R se cumple lím x→0 sen 1 x ≠ l.
En primer lugar, veamos que el límite que estamos estudiando tiene sentido. Para ello, basta observar que en este caso el dominio de f es R − { 0 }, del cual 0( aunque no pertenece a dom f) es punto de acumulación. Sea ahora l ∈ R arbitrario. En general, la afirmación
lím f( x) ≠ l, x→a
es decir, la negación de la afirmación lím x→a f( x) = l, significa exactamente lo siguiente:
∃ɛ > 0 tal que ∀δ > 0 ∃x cumpliendo 0 < | x − a | < δ y | f( x) − l | ≥ ɛ.
En otras palabras: si ɛ > 0 se escoge suficientemente pequeño, para todo δ > 0 siempre hay algún x ∈ dom f distinto de a en el intervalo( a −δ, a + δ) tal que | f( x) − l | ≥ ɛ. En este caso concreto, observemos que si
entonces x n =
2( 4n + 1) π, y n =
2( 4n − 1) π, ∀n ∈ N,
f( x n) = 1, f( y n) = −1, ∀n ∈ N.