CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 43
1
0.5
-1 -0.5 0.5 1
-0.5
-1 Figura 3.2 : gráfica de la función sen 1 x
Nota . No hace falta conseguir el valor óptimo ( es decir mayor ) de δ para el cual | f ( x ) − l | < ɛ si 0 < | x − a | < δ y x ∈ dom f . Por ejemplo , en este caso el mayor δ para el que se cumple ( 3.1 ) es δ = √ ɛ + a 2 − | a |.
Ejemplo 3.4 . Veamos que no existe lím x→0 sen 1 x . Esto significa que cualquiera que sea el número l ∈ R se cumple lím x→0 sen 1 x ≠ l .
En primer lugar , veamos que el límite que estamos estudiando tiene sentido . Para ello , basta observar que en este caso el dominio de f es R − { 0 }, del cual 0 ( aunque no pertenece a dom f ) es punto de acumulación . Sea ahora l ∈ R arbitrario . En general , la afirmación
lím f ( x ) ≠ l , x→a
es decir , la negación de la afirmación lím x→a f ( x ) = l , significa exactamente lo siguiente :
∃ɛ > 0 tal que ∀δ > 0 ∃x cumpliendo 0 < | x − a | < δ y | f ( x ) − l | ≥ ɛ .
En otras palabras : si ɛ > 0 se escoge suficientemente pequeño , para todo δ > 0 siempre hay algún x ∈ dom f distinto de a en el intervalo ( a −δ , a + δ ) tal que | f ( x ) − l | ≥ ɛ . En este caso concreto , observemos que si
entonces x n =
2 ( 4n + 1 ) π , y n =
2 ( 4n − 1 ) π , ∀n ∈ N ,
f ( x n ) = 1 , f ( y n ) = −1 , ∀n ∈ N .