CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 42
Si f = c es una función constante entonces se cumple que lím x→a f ( x ) = lím x→a c = c = f ( a ) para todo a ∈ R . En efecto , cualquiera que sea ɛ > 0 podemos tomar como δ cualquier número positivo .
Otro ejemplo muy sencillo es la función identidad , cuyo límite en cualquier punto existe y coincide con el valor de la función en dicho punto :
lím x = a . x→a
En efecto , dado ɛ > 0 arbitrario podemos conseguir que | x − a | < ɛ para todo x que satisfaga 0 < | x − a | < δ tomando δ = ɛ .
Ejemplo 3.3 . Veamos que la función f : R → R dada por f ( x ) = x 2 cumple lím x→a f ( x ) = f ( a ) ( es decir , lím x→a x 2 = a 2 ) cualquiera que sea a ∈ R . En primer lugar , domf = R , luego todo número real a es punto de acumulación de dom f . Si ɛ > 0 , supondremos que 0 < | x − a | < δ y veremos cómo hay que tomar δ para que la desigualdad anterior implique que ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < ɛ . Para ello , obsérvese que
∣ x 2 − a 2∣ ∣ = | x − a | | x + a | ≤ δ | x + a |.
El problema se reduce pues a probar que | x + a | no puede ser muy grande si 0 < | x − a | < δ . En efecto ,
Luego
| x + a | = |( x − a ) + 2a | ≤ 2 | a | + | x − a | < δ + 2 | a |.
0 < | x − a | < δ = ⇒ ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < δ ( δ + 2 | a |). Debemos pues tomar δ > 0 tal que δ ( δ + 2 | a |) ≤ ɛ . ( 3.1 )
Pero esto siempre es posible . En efecto , si tomamos 0 < δ ≤ 1 entonces δ 2 ≤ δ y por tanto
δ ( δ + 2 | a |) = δ 2 + 2 | a | δ ≤ δ ( 2 | a | + 1 ) ≤ ɛ
En resumen , cualquiera que sea ɛ > 0 , si tomamos
entonces
como queríamos demostrar .
δ = mín { 1 , ɛ /( 2 | a | + 1 )}
0 < | x − a | < δ = ⇒ ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < ɛ ,
si δ ≤ ɛ 2 | a | + 1 .