CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 42
Si f = c es una función constante entonces se cumple que lím x→a f( x) = lím x→a c = c = f( a) para todo a ∈ R. En efecto, cualquiera que sea ɛ > 0 podemos tomar como δ cualquier número positivo.
Otro ejemplo muy sencillo es la función identidad, cuyo límite en cualquier punto existe y coincide con el valor de la función en dicho punto:
lím x = a. x→a
En efecto, dado ɛ > 0 arbitrario podemos conseguir que | x − a | < ɛ para todo x que satisfaga 0 < | x − a | < δ tomando δ = ɛ.
Ejemplo 3.3. Veamos que la función f: R → R dada por f( x) = x 2 cumple lím x→a f( x) = f( a)( es decir, lím x→a x 2 = a 2) cualquiera que sea a ∈ R. En primer lugar, domf = R, luego todo número real a es punto de acumulación de dom f. Si ɛ > 0, supondremos que 0 < | x − a | < δ y veremos cómo hay que tomar δ para que la desigualdad anterior implique que ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < ɛ. Para ello, obsérvese que
∣ x 2 − a 2∣ ∣ = | x − a | | x + a | ≤ δ | x + a |.
El problema se reduce pues a probar que | x + a | no puede ser muy grande si 0 < | x − a | < δ. En efecto,
Luego
| x + a | = |( x − a) + 2a | ≤ 2 | a | + | x − a | < δ + 2 | a |.
0 < | x − a | < δ = ⇒ ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < δ( δ + 2 | a |). Debemos pues tomar δ > 0 tal que δ( δ + 2 | a |) ≤ ɛ.( 3.1)
Pero esto siempre es posible. En efecto, si tomamos 0 < δ ≤ 1 entonces δ 2 ≤ δ y por tanto
δ( δ + 2 | a |) = δ 2 + 2 | a | δ ≤ δ( 2 | a | + 1) ≤ ɛ
En resumen, cualquiera que sea ɛ > 0, si tomamos
entonces
como queríamos demostrar.
δ = mín { 1, ɛ /( 2 | a | + 1)}
0 < | x − a | < δ = ⇒ ∣ x 2 − a 2∣ ∣ < ɛ,
si δ ≤ ɛ 2 | a | + 1.