CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 41
en a es l si f( x) está tan próximo como se quiera a l siempre que x ≠ a esté suficientemente próximo a a. La definición rigurosa de límite no hace más que formalizar ó expresar en términos matemáticamente precisos esta definición intuitiva.
Definición 3.2. Sea f: R → R una función, y sea a ∈ R un punto de acumulación de dom f. Diremos que el límite de f en a es l, y escribiremos
lím f( x) = l, x→a
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ = ⇒ | f( x) − l | < ɛ. En otras palabras, dado cualquier ɛ > 0 podemos conseguir que
sin más que tomar l − ɛ < f( x) < l + ɛ
x ∈ domf, a − δ < x < a + δ, x ≠ a,
para algún δ cuyo valor dependerá en general de ɛ.( Por ejemplo, es razonable pensar que cuanto más pequeño sea ɛ menor habrá de ser δ.) En términos de la gráfica de la función f, lím x→a f( x) = l significa que dado cualquier ɛ > 0 podemos encontrar un δ > 0( que, en general, dependerá de ɛ) de forma que para 0 < | x − a | < δ la gráfica de la función f esté contenida en el rectángulo de la fig. 3.1.
f( x)
l + ε l l – ε
Figura 3.1: geometría de la definición de lím x→a f( x)
Nota. Es muy importante observar que la existencia y el valor de lím x→a f( x) no dependen para nada de la existencia y el valor de f en el punto a.