CAPÍTULO 3 . LÍMITES Y CONTINUIDAD 41
en a es l si f ( x ) está tan próximo como se quiera a l siempre que x ≠ a esté suficientemente próximo a a . La definición rigurosa de límite no hace más que formalizar ó expresar en términos matemáticamente precisos esta definición intuitiva .
Definición 3.2 . Sea f : R → R una función , y sea a ∈ R un punto de acumulación de dom f . Diremos que el límite de f en a es l , y escribiremos
lím f ( x ) = l , x→a
si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ dom f y 0 < | x − a | < δ = ⇒ | f ( x ) − l | < ɛ . En otras palabras , dado cualquier ɛ > 0 podemos conseguir que
sin más que tomar l − ɛ < f ( x ) < l + ɛ
x ∈ domf , a − δ < x < a + δ , x ≠ a ,
para algún δ cuyo valor dependerá en general de ɛ . ( Por ejemplo , es razonable pensar que cuanto más pequeño sea ɛ menor habrá de ser δ .) En términos de la gráfica de la función f , lím x→a f ( x ) = l significa que dado cualquier ɛ > 0 podemos encontrar un δ > 0 ( que , en general , dependerá de ɛ ) de forma que para 0 < | x − a | < δ la gráfica de la función f esté contenida en el rectángulo de la fig . 3.1 .
f ( x )
l + ε l l – ε
Figura 3.1 : geometría de la definición de lím x→a f ( x )
Nota . Es muy importante observar que la existencia y el valor de lím x→a f ( x ) no dependen para nada de la existencia y el valor de f en el punto a .