Capítulo 3
Límites y continuidad
3.1. Límites
Un número real x es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ R si cualquier intervalo abierto que contenga a x contiene algún punto de A distinto de x. En otras palabras, si J es un intervalo abierto y x ∈ J entonces( J − { x }) ∩ A ≠ ∅. Nótese que para esto no hace falta que x pertenezca a A. Es inmediato probar a partir de la definición que si x es un punto de acumulación de A entonces cualquier intervalo abierto que contenga a x contiene infinitos puntos de A( distintos de x).
Ejemplo 3.1. a es punto de acumulación de cualquier intervalo con extremos a < b
Todo punto de un intervalo de cualquier tipo( excepto de la forma [ a, a ]) es punto de acumulación de dicho intervalo
0 es un punto de acumulación del conjunto { 1 / n: n ∈ N }
Si ∅ ≠ A ⊂ R está acotado superiormente( resp. inferiormente) y supA / ∈ A( resp. inf A / ∈ A), entonces supA( resp. inf A) es punto de acumulación de A
Ningún número real es punto de acumulación del conjunto Z de los número enteros
Todo número real es un punto de acumulación del conjunto Q de los números racionales
Sea f: R → R una función, y sea a ∈ R un punto de acumulación de domf; para esto no es necesario que a pertenezca a dom f, es decir que f( a) tenga sentido, pero sí tiene que haber puntos distintos de a en los que f esté definida arbitrariamente próximos a a. Intuitivamente, el límite de f
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