Capítulo 3
Límites y continuidad
3.1 . Límites
Un número real x es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ R si cualquier intervalo abierto que contenga a x contiene algún punto de A distinto de x . En otras palabras , si J es un intervalo abierto y x ∈ J entonces ( J − { x }) ∩ A ≠ ∅ . Nótese que para esto no hace falta que x pertenezca a A . Es inmediato probar a partir de la definición que si x es un punto de acumulación de A entonces cualquier intervalo abierto que contenga a x contiene infinitos puntos de A ( distintos de x ).
Ejemplo 3.1 . a es punto de acumulación de cualquier intervalo con extremos a < b
Todo punto de un intervalo de cualquier tipo ( excepto de la forma [ a , a ]) es punto de acumulación de dicho intervalo
0 es un punto de acumulación del conjunto { 1 / n : n ∈ N }
Si ∅ ≠ A ⊂ R está acotado superiormente ( resp . inferiormente ) y supA / ∈ A ( resp . inf A / ∈ A ), entonces supA ( resp . inf A ) es punto de acumulación de A
Ningún número real es punto de acumulación del conjunto Z de los número enteros
Todo número real es un punto de acumulación del conjunto Q de los números racionales
Sea f : R → R una función , y sea a ∈ R un punto de acumulación de domf ; para esto no es necesario que a pertenezca a dom f , es decir que f ( a ) tenga sentido , pero sí tiene que haber puntos distintos de a en los que f esté definida arbitrariamente próximos a a . Intuitivamente , el límite de f
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