CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 39
Podemos extender esta definición a potencias enteras no positivas si excluimos del dominio de la función los puntos x ∈ R en que f ( x ) = 0 ( en particular , f 0 = 1 ), y a potencias reales arbitrarias si excluímos los puntos x ∈ R tal que f ( x ) ≤ 0 . Tomando las potencias enteras no negativas de la función identidad I ( I ( x ) = x para todo x ∈ R ), multiplicándolas por constantes y sumando obtenemos las funciones polinómicas : n∑ p = a i I i .
En otras palabras , p ( x ) = i = 0 n∑ a i x i , ∀x ∈ R . i = 0
Si a n ≠ 0 , al número n se le denomina el grado del polinomio p . ( Por convenio , el grado del polinomio 0 no está definido .) Se puede demostrar que dos funciones polinómicas son iguales si y sólo si tienen el mismo grado e iguales coeficientes :
a n ≠ 0 , b m ≠ 0 , n∑ a i x i = i = 0 m∑ b i x i , ∀x ∈ R ; i = 0
⇐⇒ b i = a i ∀i = 1,2 ,... , n = m .
Definimos las funciones racionales como cocientes R = p / q de dos funciones polinómicas , siendo el polinomio q distinto del polinomio 0 . El dominio de la función R es el conjunto
domR = { x ∈ R : q ( x ) ≠ 0 } .
Nótese que un polinomio es un caso particular de función racional ( con denominador igual al polinomio constante 1 ). Con las funciones racionales , las funciones potenciales ( f ( x ) = x a para todo x > 0 , siendo a ∈ R arbitrario ), las exponenciales ( f ( x ) = a x para todo x ∈ R , con a > 0 ), las logarítmicas ( log a , a > 0 ) y las trigonométricas podemos construir multitud de funciones aplicando las operaciones algebraicas , la composición y la operación de tomar la función inversa ( cuando esta operación sea aplicable ) un número finito de veces . A las funciones obtenidas de esta forma les llamaremos funciones elementales .
Ejemplo 2.10 . La función f : R → R definida por ( f ( x ) = log 3 1 + arctan 4 ( ) )
2 x−x3 5cot x2
− x
es una función elemental . Su dominio es el conjunto { x ∈ R : x > 0 , x2 ≠ kπ con k ∈ N } = ( 0 , ∞ ) −
{ √ kπ : k ∈ N
} .
Su imagen , sin embargo , no es fácil de calcular .