CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 39
Podemos extender esta definición a potencias enteras no positivas si excluimos del dominio de la función los puntos x ∈ R en que f( x) = 0( en particular, f 0 = 1), y a potencias reales arbitrarias si excluímos los puntos x ∈ R tal que f( x) ≤ 0. Tomando las potencias enteras no negativas de la función identidad I( I( x) = x para todo x ∈ R), multiplicándolas por constantes y sumando obtenemos las funciones polinómicas: n∑ p = a i I i.
En otras palabras, p( x) = i = 0 n∑ a i x i, ∀x ∈ R. i = 0
Si a n ≠ 0, al número n se le denomina el grado del polinomio p.( Por convenio, el grado del polinomio 0 no está definido.) Se puede demostrar que dos funciones polinómicas son iguales si y sólo si tienen el mismo grado e iguales coeficientes:
a n ≠ 0, b m ≠ 0, n∑ a i x i = i = 0 m∑ b i x i, ∀x ∈ R; i = 0
⇐⇒ b i = a i ∀i = 1,2,..., n = m.
Definimos las funciones racionales como cocientes R = p / q de dos funciones polinómicas, siendo el polinomio q distinto del polinomio 0. El dominio de la función R es el conjunto
domR = { x ∈ R: q( x) ≠ 0 }.
Nótese que un polinomio es un caso particular de función racional( con denominador igual al polinomio constante 1). Con las funciones racionales, las funciones potenciales( f( x) = x a para todo x > 0, siendo a ∈ R arbitrario), las exponenciales( f( x) = a x para todo x ∈ R, con a > 0), las logarítmicas( log a, a > 0) y las trigonométricas podemos construir multitud de funciones aplicando las operaciones algebraicas, la composición y la operación de tomar la función inversa( cuando esta operación sea aplicable) un número finito de veces. A las funciones obtenidas de esta forma les llamaremos funciones elementales.
Ejemplo 2.10. La función f: R → R definida por( f( x) = log 3 1 + arctan 4())
2 x−x3 5cot x2
− x
es una función elemental. Su dominio es el conjunto { x ∈ R: x > 0, x2 ≠ kπ con k ∈ N } =( 0, ∞) −
{ √ kπ: k ∈ N
}.
Su imagen, sin embargo, no es fácil de calcular.