CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 38
2.7. Operaciones algebraicas con funciones
Las operaciones algebraicas con números reales se pueden extender a las funciones entre subconjuntos de R de forma natural. En efecto, si f: R → R y g: R → R son funciones, definimos las funciones f + g: R → R, fg: R → R y f g
≡ f / g: R → R como sigue:
( f + g)( x) = f( x) + g( x)( fg)( x) = f( x) · g( x)() f
( x) = f( x) g g( x).
Los dominios de estas funciones son: dom( f + g) = dom( fg) = dom f ∩ dom g, dom f g
=( dom f ∩ dom g) − { x ∈ domg: g( x) = 0 }.
Así, por ejemplo, tan = sen / cos, cot = cos / sen, sec = 1 / cos, cosec = 1 / sen. Es evidente que las propiedades de la suma y el producto de funciones son las mismas que las de la suma y el producto de números reales:
f + g = g + f,( f + g) + h = f +( g + h), f( g + h) = fg + fh,
etc. Una función es constante si su imagen consta sólo de un punto. En otras palabras, f: R → R es constante si existe c ∈ R tal que f( x) = c para todo x ∈ R. El producto cf del número real c por la función f: R → R se define como el producto fg de f con la función constante g = c, es decir
( cf)( x) = c · f( x), ∀x ∈ domf.
El conjunto de las funciones de R en R con dominio un subconjunto A ⊂ R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, con la suma de funciones y el producto de funciones por números reales definidos anteriormente. El elemento 0 de este espacio vectorial es la función constante 0, y la función −f es la definida por
( −f)( x) = −f( x), ∀x ∈ dom f.
Las operaciones algebraicas con funciones, junto con la operación de composición vista anteriormente, permiten construir funciones relativamente complicadas a partir de funciones más sencillas. Así, por ejemplo, a partir de la multiplicación de funciones podemos definir las potencias de una función f: R → R mediante
( f n)( x) =( f( x)) n, ∀x ∈ dom f, ∀n ∈ N.