CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 38
2.7 . Operaciones algebraicas con funciones
Las operaciones algebraicas con números reales se pueden extender a las funciones entre subconjuntos de R de forma natural . En efecto , si f : R → R y g : R → R son funciones , definimos las funciones f + g : R → R , fg : R → R y f g
≡ f / g : R → R como sigue :
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( fg )( x ) = f ( x ) · g ( x ) ( ) f
( x ) = f ( x ) g g ( x ) .
Los dominios de estas funciones son : dom ( f + g ) = dom ( fg ) = dom f ∩ dom g , dom f g
= ( dom f ∩ dom g ) − { x ∈ domg : g ( x ) = 0 } .
Así , por ejemplo , tan = sen / cos , cot = cos / sen , sec = 1 / cos , cosec = 1 / sen . Es evidente que las propiedades de la suma y el producto de funciones son las mismas que las de la suma y el producto de números reales :
f + g = g + f , ( f + g ) + h = f + ( g + h ), f ( g + h ) = fg + fh ,
etc . Una función es constante si su imagen consta sólo de un punto . En otras palabras , f : R → R es constante si existe c ∈ R tal que f ( x ) = c para todo x ∈ R . El producto cf del número real c por la función f : R → R se define como el producto fg de f con la función constante g = c , es decir
( cf )( x ) = c · f ( x ), ∀x ∈ domf .
El conjunto de las funciones de R en R con dominio un subconjunto A ⊂ R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R , con la suma de funciones y el producto de funciones por números reales definidos anteriormente . El elemento 0 de este espacio vectorial es la función constante 0 , y la función −f es la definida por
( −f )( x ) = −f ( x ), ∀x ∈ dom f .
Las operaciones algebraicas con funciones , junto con la operación de composición vista anteriormente , permiten construir funciones relativamente complicadas a partir de funciones más sencillas . Así , por ejemplo , a partir de la multiplicación de funciones podemos definir las potencias de una función f : R → R mediante
( f n )( x ) = ( f ( x ) ) n , ∀x ∈ dom f , ∀n ∈ N .