CAPÍTULO 2 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 36
Se observa a simple vista que las gráficas de sen y cos están relacionadas por una traslación . En efecto , se cumple la relación
( cos x − π ) ( ( π
))
= sen x = cos 2
2 − x , ∀x ∈ R .
Al ser periódicas , las funciones trigonométricas no pueden ser invertibles en sus dominios “ naturales ” vistos anteriormente . Para poder invertirlas , debemos restringirlas ( al menos ) a un intervalo de longitud menor que un período . Observando las gráficas anteriores , salta a la vista que todas las funciones trigonométricas son inyectivas en un intervalo de longitud π adecuado . Qué intervalo concreto se toma es algo convencional , aunque por supuesto la función inversa obtenida depende de la elección del intervalo . Además , para definir las funciones trigonométricas inversas hay que restringir las funciones trigonométricas a funciones de los intervalos anteriores a sus imágenes . Por ejemplo , para definir la función arcsen ≡ sen −1 consideramos a sen como una función [ − π 2 , π 2
]
→ [ −1 , 1 ], lo que convierte a sen en una función invertible . Se obtienen así las siguientes funciones trigonométricas inversas : arccos = cos −1 : [ −1,1 ] → [ 0 , π ] arcsen = sen −1 : [ −1,1 ] → [ − π 2 , π ]
2 arctan = tan −1 : R → ( − π 2 , π ) 2
{ π } arcsec = sec −1 : R − ( −1,1 ) → [ 0 , π ] − 2 arccsc = cosec −1 : R − ( −1,1 ) → [ − π 2 , π 2
] − { 0 } arccot = cot −1 : R → ( 0 , π )
Las gráficas de estas funciones son :
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1 -0.5 0.5 1
Figura 2.13 : gráfica de arccos
1.5
1
0.5
-1 -0.5 0.5 1 -0.5
-1
-1.5
Figura 2.14 : gráfica de arcsen