CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 36
Se observa a simple vista que las gráficas de sen y cos están relacionadas por una traslación. En efecto, se cumple la relación
( cos x − π)(( π
))
= sen x = cos 2
2 − x, ∀x ∈ R.
Al ser periódicas, las funciones trigonométricas no pueden ser invertibles en sus dominios“ naturales” vistos anteriormente. Para poder invertirlas, debemos restringirlas( al menos) a un intervalo de longitud menor que un período. Observando las gráficas anteriores, salta a la vista que todas las funciones trigonométricas son inyectivas en un intervalo de longitud π adecuado. Qué intervalo concreto se toma es algo convencional, aunque por supuesto la función inversa obtenida depende de la elección del intervalo. Además, para definir las funciones trigonométricas inversas hay que restringir las funciones trigonométricas a funciones de los intervalos anteriores a sus imágenes. Por ejemplo, para definir la función arcsen ≡ sen −1 consideramos a sen como una función [ − π 2, π 2
]
→ [ −1, 1 ], lo que convierte a sen en una función invertible. Se obtienen así las siguientes funciones trigonométricas inversas: arccos = cos −1: [ −1,1 ] → [ 0, π ] arcsen = sen −1: [ −1,1 ] → [ − π 2, π ]
2 arctan = tan −1: R →( − π 2, π) 2
{ π } arcsec = sec −1: R −( −1,1) → [ 0, π ] − 2 arccsc = cosec −1: R −( −1,1) → [ − π 2, π 2
] − { 0 } arccot = cot −1: R →( 0, π)
Las gráficas de estas funciones son:
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1-0.5 0.5 1
Figura 2.13: gráfica de arccos
1.5
1
0.5
-1-0.5 0.5 1-0.5
-1
-1.5
Figura 2.14: gráfica de arcsen