CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 168
Teorema 7.33. Supongamos que la serie de potencias( 7.5) es convergente en x = c ≠ 0. Entonces se cumple:
i) La serie( 7.5) converge absolutamente para todo x ∈( − | c |, | c |) a una función f.
ii) La convergencia de( 7.5) a f es uniforme en todo intervalo [ −b, b ] con 0 < b < | c |.
iii) Para todo x ∈( − | c |, | c |) la función f es derivable en x, y se verifica
f ′( x) =
∞∑ k a k x k−1, k = 1
siendo esta última serie absoluta y uniformemente convergente a f ′ en todo intervalo [ −b, b ] con 0 < b < | c |.
Demostración. En primer lugar, al ser la serie ∑ ∞ k = 0 a k c k convergente, su término general tiende a cero cuando k → ∞, y por lo tanto está acotado:
existe M ∈ R tal que
∣ ∣a k c k ∣ < M, ∀k ∈ N ∪ { 0 }.
Si 0 < b < | c | y −b ≤ x ≤ b entonces ∣ ∣a k x k ∣
∣ = ∣a k c k ∣ ∣ x ∣ k ≤ M c
() b k, k = 0,1,....
| c | Como 0 < b / | c | < 1, la serie numérica( geométrica) ∑ ∞ k = 0( b / | c |) k es convergente, y por tanto el segundo apartado se deduce del criterio M de Weierstrass. Al ser b ∈( 0, | c |) arbitrario, esto prueba también el primer apartado. Para probar el tercer apartado, nótese que si x ∈ [ −b, b ] entonces
∣ ∣k a k x k−1 ∣
∣ = k ∣a k c k ∣ | x | k−1 | c | k ≤ k M bk−1
| c | k = M b · k
() b k, ∀k ∈ N.
| c | Como( al ser de nuevo 0 < b / | c | < 1) la serie numérica ∑ ∞ k = 1 k( b / | c |) k es convergente( criterio del cociente), por el criterio M de Weierstrass la
serie ∑ ∞ k = 1 k a k x k−1 converge absoluta y uniformemente en [ −b, b ], y por el Teorema 7.30 su suma es f ′. Como 0 < b < | c | es arbitrario, esto prueba el
último apartado. Q. E. D.
El teorema anterior tiene varias consecuencias importantes que veremos a continuación. En primer lugar, dada una serie de potencias ∑ ∞ k = 0 a kx k existe un número R ≥ 0, llamado radio de convergencia de la serie,
tal que la serie es( absolutamente) convergente para | x | < R y divergente