CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 169
para | x | > R( si la serie converge para todo x ∈ R, por definición se toma R = ∞). En efecto, si la serie no converge en todo R( en cuyo caso R = ∞) por el teorema anterior R = sup { | x |: ∑ ∞ k = 1 a kx k es convergente }. Nótese que R puede ser cero, lo cual significa que la serie sólo converge para x = 0;
por ejemplo, veremos a continuación que la serie ∑ ∞ k = 0 k! xk tiene radio de convergencia 0. Para calcular el radio de convergencia de una serie de
potencias ∑ ∞
k = 0 a k x k, podemos utilizar el criterio del cociente ó el de la raíz aplicado a la serie de valores absolutos ∑ ∞ k = 0 | a k | | x | k. Por ejemplo, para aplicar el criterio del cociente hay que calcular
| a n + 1 | | x | n + 1 r = lím n→∞ | a n | | x | n = | x | lím a n + 1 n→∞∣ a n
∣( donde se supone que a n ≠ 0 para todo n suficientemente grande). Si existe q = lím a n + 1 n→∞∣ a n
∣,( 7. 6) y es distinto de 0, la serie ∑ ∞ k = 0 a k x k converge absolutamente si | x | < 1 / q, y diverge si | x | > 1 / q. Si q = 0, r = 0 y la serie converge para todo x ∈ R,
mientras que si q = ∞ entonces r = ∞ para todo x ≠ 0 y por tanto la serie diverge para todo x ≠ 0. Luego si existe el límite( 7.6) entonces el radio de convergencia de la serie es 1 / q( tomando 1 / q = ∞ si q = 0, y 1 / q = 0 si q = ∞), es decir
( R = lím
∣ n→∞ a n + 1 a n
lím n→∞
) −1 ∣ = lím ∣ n→∞ a n a n + 1
De forma análoga aplicando el criterio de la raíz se demuestra que si existe lím √ n n→∞ a n entonces
( √) −1 n R = | an |.
Por ejemplo, para la serie ∑ ∞ k = 0 k! xk se tiene a k = k!, y por tanto
R = lím a n n→∞ ∣ ∣ = lím n! n→∞( n + 1)! = lím 1 n→∞ n + 1 = 0. a n + 1
Supongamos que el radio de convergencia de la serie de potencias ∑ ∞ k = 0 a k x k es R > 0, y sea
∞∑ f( x) = a k x k, | x | < R,
k = 0 su suma. Por el Teorema 7.33( aplicado a cualquier c ∈( 0, R)), f es derivable en( −R, R) y
f ′( x) =
∞∑ k a k x k−1 = k = 1
∣.
∞∑( k + 1) a k + 1 x k, | x | < R, k = 0