CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 167
Por ejemplo, por lo visto anteriormente las funciones cos x, sen x, log( 1 + x) y arctan x son analíticas en 0, mientras que la función del ejemplo anterior no lo es.
La convergencia de ∑ ∞ k = 0 f( k)( c)( x − c) k / k! a f( x) significa que f( x) = lím
o, equivalentemente, n∑ n→∞ k = 0 f( k)( c)
( x − c) k = lím k! P n, c, f( x), n→∞
lím R n, c, f( x) = 0.( 7.4) n→∞
Por tanto, f será analítica en c si es de clase C ∞( c − r, c + r) para algún r > 0, y para todo x ∈( c − r, c + r) se cumple( 7.4).
Proposición 7.32. Sea f ∈ C ∞( a, b), y supongamos que existe M > 0 tal que para todo k = 0,1,... se cumple
∣ ∣f( k)( x) ∣ ≤ M k, ∀x ∈( a, b).
Entonces f es analítica en c, para todo c ∈( a, b).
Demostración. Si c ∈( a, b), sea r = mín( c − a, b − c), de forma que( c − r, c + r) ⊂( a, b). Si x ∈( c − r, c + r) entonces( teorema de Taylor) existe t en el intervalo( c, x) ó( x, c)( nótese que ambos intervalos están contenidos en( a, b)) tal que
R n, c, f( x) = f( n + 1)( t)( n + 1)!( x − c) n + 1 y por tanto | R n, c, f( x)| ≤( M | x − c |) n + 1
( n + 1)!
−−−→ n→∞ 0. Q. E. D.
Al ser las series de Taylor un caso particular de las series de potencias, el estudio de las propiedades de las series de potencias tiene un interés indudable. En particular, dicho estudio nos permitirá probar que una serie de potencias convergente en un cierto intervalo abierto no vacío es siempre la serie de Taylor de una función( concretamente, de la función a la cual converge la serie).
Para simplificar( sin pérdida de generalidad), nos restringiremos a considerar series de potencias
∞∑ a k x k( 7.5) k = 0 centradas en 0. El resultado fundamental es el siguiente: