CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 166
7.4. Series de Taylor y series de potencias
Dada una función f infinitas veces diferenciable en un punto c ∈ R, es natural considerar la serie de Taylor de f centrada en c, definida por
Escribiremos simbólicamente
∞∑
k = 0
f( x) ∼ f( k)( c)
( x − c) k. k!
∞∑
k = 0 f( k)( c)( x − c) k( 7.3) k!
para denotar que el miembro derecho es la serie de Taylor centrada en c del miembro izquierdo. Nótese que la serie de Taylor no es más que una serie de funciones ∑ ∞ k = 0 f k en la que las funciones f k son particularmente sencillas:
f k( x) = f( k)( c)( x − c) k. k! En general, una serie de funciones de la forma
∞∑ a k( x − c) k k = 0
se denominará serie de potencias centrada en c.
La pregunta fundamental que nos hacemos es la siguiente: ¿ bajo qué condiciones( es decir, para qué funciones f y con qué restricciones sobre x) podemos reemplazar ∼ por = en( 7.3)? Antes de continuar, obsérvese que la serie de Taylor de f centrada en c puede ser convergente en algún punto x a un número distinto de f( x). Por ejemplo, puede probarse que si f está definida por f( 0) = 0 y f( x) = e −1 / x2 para todo x ≠ 0, entonces f es infinitamente diferenciable en R y se cumple
f( k)( 0) = 0, ∀k = 0,1,....
Por tanto, para todo x ≠ 0 la serie de Taylor de f centrada en 0 converge a 0 ≠ f( x).
Definición 7.31. Sea f una función infinitamente diferenciable en un intervalo( a, b)( diremos en tal caso que f es de clase infinito en( a, b) y escribiremos f ∈ C ∞( a, b)). Se dirá que f es analítica en c ∈( a, b) si la serie de Taylor de f centrada en c converge a f( x) para todo x en un cierto intervalo abierto centrado en c.