CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 165
Supongamos que ∑ ∞ k = 1 f k es una serie de funciones uniformemente convergente a una función f en un intervalo [ a, b ]. En primer lugar, si las funciones f k son integrables en [ a, b ] para todo k ∈ N lo mismo ocurre con la función f, y se cumple
∫ b ∞∑
∫ b f = f k, es decir
∫ b
a a k = 1
∞∑ f k = k = 1
Si las funciones f k son además continuas en c ∈ [ a, b ] para todo k ∈ N entonces f es continua en c, y por tanto
∞∑
∞∑ lím f k( x) = lím f k( x). x→c x→c k = 1
Finalmente ∑
, si f n cumple las hipótesis del Teorema 7.30 para todo n ∈ N,
∞ k = 1 f k converge en algún c ∈( a, b) y ∑ ∞ k = 1 f k ′ es uniformemente convergente en( a, b) entonces
(
∑ ∞
) ′ ∞∑ f k = f k ′ en( a, b). k = 1 k = 1
En el caso de series de funciones hay un criterio muy sencillo que garantiza la convergencia uniforme:
Teorema( criterio M de Weierstrass). Sea ∑ ∞ k = 1 f k una serie de funciones definidas en un conjunto A, y supóngase que para todo n ∈ N existe M n ∈ R
tal que | f n( x)| ≤ M n, ∀x ∈ A.
Si la serie ∑ ∞ k = 1 M k es convergente, entonces ∑ ∞ k = 1 f k converge absoluta y uniformemente en A. Demostración ∑
. En primer lugar, por el criterio de comparación la serie
∞ k = 1 f k( x) converge absolutamente para todo x ∈ A. En segundo lugar, si para x ∈ A definimos f( x) = ∑ ∞ k = 1 f k( x) entonces para todo n ∈ N y para todo x ∈ A se verifica n∑
∣ f( x) − f k( x) ∣ =
∞∑ f ∣ k( x)
∣ ≤
∑ ∞ | f k( x)|
k = 1 k = n + 1 k = n + 1
∞∑ ∞∑ n∑
≤ M k ≡
M ∣ k − M k ∣, ∀x ∈ A. k = n + 1
Como el miembro derecho puede hacerse más pequeño que cualquier ɛ > 0 tomando n suficientemente grande( al ser ∑ ∞ k = 1 M k convergente), la serie dada converge uniformemente en A. Q. E. D.
a
∞∑
k = 1
k = 1
k = 1
∫ b
a f k.
k = 1