CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 164
Teorema 7.30. Supongamos que, para todo n ∈ N, f n: R → R es derivable en( a, b), siendo además f n ′ integrable en [ a, b ]. Si { f n ′ } ∞ n = 1 es uniformemente convergente a una función g en( a, b), y existe c ∈( a, b) tal que la sucesión { f n( c)} ∞ n = 1 es convergente, entonces: i) { f n } ∞ n = 1 es uniformemente convergente a una función f en( a, b) ii) f es derivable en( a, b), y f ′ = g en( a, b).
En otras palabras, si se cumplen las condiciones del teorema anterior entonces() ′ lím f n = lím f ′ n→∞ n→∞ n.
Demostración. Vamos a suponer, para simplificar la demostración, que g es continua en( a, b)( por ejemplo, esto ocurrirá automáticamente si todas las funciones f n ′ son continuas en( a, b)). En primer lugar, las hipótesis hechas sobre f n ′ justifican la aplicación de la regla de Barrow, que conduce a la identidad f n( x) = f n( c) +
∫ x
c f ′ n, ∀x ∈( a, b).
La convergencia uniforme de f n ′ a g en( a, b) implica, por el Teorema 7. 29, que para todo x ∈( a, b) la integral del miembro derecho converge a ∫ x c g. Al ser f n( c) convergente a f( c) se sigue que f n converge puntualmente en
( a, b), siendo lím f n( x) ≡ f( x) = f( c) + n→∞
∫ x
c g, ∀x ∈ [ a, b ].( 7.2)
La convergencia es uniforme en( a, b), ya que
∫ x
| f( x) − f n( x)| =
∣ f( c) − f n( c) −( f n ′ − g) ∣ ≤ | f( c) − f n( c)| +
∣ c
∣ ≤ | f( c) − f n( c)| +( b − a) sup ∣f n ′( x) − g( x) ∣. x∈( a, b)
∫ x
c
∣ f
′ n − g ∣ ∣
Por último, si g es continua en( a, b) de( 7.2) y el Teorema Fundamental del Cálculo se sigue que f ′( x) = g( x) para todo x ∈( a, b). Q. E. D.
7.3.2. Series de funciones Una serie de funciones ∑ ∞ k = 1 f k es uniformemente convergente en un conjunto A si lo es la sucesión de sumas parciales { s n } ∞ n = 1, siendo s n = ∑ n k = 1 f k. Al ser las series un caso particular de las sucesiones, los resultados sobre sucesiones de funciones uniformemente convergentes que acabamos de ver se aplican con modificaciones obvias a las series de funciones uniformemente convergentes.