CAPÍTULO 7. SUCESIONES Y SERIES 163
ii) Si f n es continua en c ∈ [ a, b ] para todo n ∈ N, entonces f es continua en c
Demostración. Obsérvese, antes que nada, que si se cumplen las hipótesis de este teorema entonces se tiene
y
∫ b
a
() lím f n n→∞
= lím n→∞
∫ b f n a
()() lím lím f n( x) = lím lím f n( x). x→c n→∞ n→∞ x→c
Demostremos, por ejemplo, el segundo apartado( la demostración del primero, bajo condiciones algo más restrictivas, puede verse en Spivak, p. 687 1). Sea ɛ > 0 arbitrario. Por la convergencia uniforme de f n a f, existe N ∈ N tal que n ≥ N = ⇒ | f( t) − f n( t)| < ɛ / 3, ∀t ∈ [ a, b ]. Además, al ser f N continua en c existe δ > 0 tal que
| x − c | < δ = ⇒ | f N( x) − f N( c)| < ɛ / 3( suponiendo, por sencillez, que c ∈( a, b)). Si | x − c | < δ se cumple entonces: | f( x) − f( c)| ≤ | f( x) − f N( x)| + | f N( x) − f N( c)| + | f N( c) − f( c)|
< ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
Q. E. D.
Si { f n } ∞ n = 1 converge uniformemente a f en( a, b), y las funciones f n son derivables en( a, b) para todo n ∈ N, no siempre es cierto que el límite f sea derivable en( a, b), o que si f es derivable f ′ coincida con lím n→∞ f ′ n( para convencerse de esto último tómese, por ejemplo, f n( x) = sen( nx)/ √ n). Sin embargo, se verifica el siguiente resultado más débil:
1 Si admitimos sin demostración que f es integrable en [ a, b ], entonces dado ɛ > 0 existe N ∈ N tal que
Por tanto,
˛
Z b
a f − n ≥ N = ⇒ | f( x) − f n( x)| <
Z b
a f n˛ ˛ =
˛
Z b
a
( f − f n) ˛ ≤
Z b
a ɛ 2( b − a), ∀x ∈ [ a, b ].
| f − f n | ≤ ɛ 2( b − a) ·( b − a) < ɛ.